Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) f(x) = –x^2 + 6x + 7

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.21 trang 18 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = –x² + 6x + 7;

b) g(x) = 3x² – 2x + 2;

c) h(x) = –16x² + 24x – 9;

d) k(x) = 2x² – 6x + 1.

Lời giải:

a)

f(x) = –x² + 6x + 7 có a = –1 < 0

f(x) = 0 ⇔ –x² + 6x + 7 = 0

Xét phương trình bậc hai –x² + 6x + 7 = 0 có ∆ = b² – 4ac = 6² – 4.(–1).7 = 64 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy f(x) = –x² + 6x + 7 < 0 với x ∈ (–∞; –1) ∪ (7; +∞), f(x) = –x² + 6x + 7 > 0 với x ∈ (–1; 7).

b)

g(x) = 3x² – 2x + 2 có a = 3 > 0

g(x) = 0 ⇔ 3x² – 2x + 2 = 0

Xét phương trình bậc hai 3x² – 2x + 2 = 0 có ∆ = b² – 4ac = (–2)² – 4.3.2 = –20 < 0.

Vậy g(x) = 3x² – 2x + 2 > 0 với x ∈ ℝ.

c)

h(x) = –16x² + 24x – 9 có a = –16 < 0

h(x) = 0 ⇔ –16x² + 24x – 9 = 0

Xét phương trình bậc hai –16x² + 24x – 9 = 0 có ∆ = b² – 4ac = 24² – 4.(–16).(–9) = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép: $x=\frac{3}{4}$.

Vậy h(x) < 0 với x $\in$ R \ {$\frac{3}{4}$} và h(x) = 0 tại $x=\frac{3}{4}$.

d)

k(x) = 2x² – 6x + 1 có a = 2 > 0

k(x) = 0 ⇔ 2x² – 6x + 1 = 0

Xét phương trình bậc hai 2x² – 6x + 1 = 0 có ∆ = b² – 4ac = (–6)² – 4.2.1 = 28 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy k(x) < 0 với x ∈ $\left(\frac{3-\sqrt{7}}{2};\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)$ và k(x) > 0 với x ∈ $\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{7}}{2};+\infty \right)$.