Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x^2 – 2(m – 1)x + 4m^2 – m = 0

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x – 2(m – 1)x + 4m – m = 0

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.23 trang 18 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0

a) có hai nghiệm phân biệt;

b) có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Xét x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có:

a = 1 > 0

∆’ = [–(m – 1)]² – 1.(4m² – m) = m² – 2m + 1 – 4m² + m = –3m² – m + 1 .

Để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆’ > 0

⇔ –3m² – m + 1 > 0

Xét phương trình bậc hai –3m² – m + 1 = 0 có a = –3 < 0 và ∆_ma = (–1)² – 4.(–3).1 = 13 > 0

Do đó, phương trình –3m² – m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$m_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}; m_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{6}$

Do đó, –3m² – m + 1 > 0 $\Leftrightarrow \frac{- 1 - \sqrt{13}}{6} < m < \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}$

Vậy khi $\frac{- 1 - \sqrt{13}}{6} < m < \frac{- 1 + \sqrt{13}}{6}$ thì phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm trái dấu

⇔ ac < 0

⇔ 1.(4m² – m ) < 0

⇔ 4m² – m < 0

Xét phương trình bậc hai 4m² – m = 0 có a = 4 > 0 và ∆_mb = (–1)² – 4.4.0 = 1 > 0

Do đó, phương trình bậc hai 4m² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

$m_{1} = 0; m_{2} = \frac{1}{4}$

Do đó, 4m² – m < 0 ⇔ $0 < m < \frac{1}{4}$

Vậy khi $0 < m < \frac{1}{4}$ thì phương trình x² – 2(m – 1)x + 4m² – m = 0 có hai nghiệm trái dấu.