Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
Bài 6.27 trang 19 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 > 0, ∀x ∈ ℝ.
Lời giải:
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0.
Coi f(x) = b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 là một tam thức bậc hai ẩn x dạng f(x) = Ax2 + Bx + C.
Xét phương trình bậc hai b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0 có:
A = b2 > 0 (vì b là độ dài cạnh của tam giác)
∆ = B2 – 4AC = [– (b2 + c2 – a2)]2 – 4.b2.c2
= (b2 + c2 – a2)2 – (2bc)2
= (b2 + c2 – a2 – 2bc)(b2 + c2 – a2 + 2bc)
= [(b – c)2 – a2][(b + c)2 – a2]
= (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)
Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:
a + b – c > 0
b + c – a > 0
b + c + a > 0
b – c – a = b – (c + a) < 0
Do đó ∆ < 0.
Vậy b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 > 0, ∀x ∈ ℝ (điều cần phải chứng minh).
