Tìm các giá trị của tham số m để a) –x^2 + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0

Tìm các giá trị của tham số m để

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.24 trang 18 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để

a) –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ;

b) x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Lời giải:

a)

Xét phương trình –x² + (m + 1)x – 2m + 1 = 0 có:

a = –1 < 0

∆ = (m + 1)² – 4.(–1).(–2m + 1) = m² + 2m + 1 – 8m + 4 = m² – 6m + 5

Để –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ ≤ 0

⇔ m² – 6m + 5 ≤ 0

Xét phương trình m² – 6m + 5 = 0 có a = 1 > 0 và Δ_m = (–6)² – 4.1.5 = 16 > 0

Do đó, phương trình m² – 6m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

m₁ = 1; m₂ = 5

Do đó, m² – 6m + 5 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 5

Vậy khi 1 ≤ m ≤ 5 thì –x² + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ.

b)

x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ

Xét phương trình x² – (2m + 1)x + m + 2 = 0 có:

a = 1 > 0

∆ = [–(2m + 1)]² – 4.1.(m + 2) = 4m² + 4m + 1 – 4m – 8 = 4m² – 7

Để x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ < 0

⇔ 4m² – 7 < 0

⇔ $m^2<\frac{7}{4}$

⇔ $-\frac{\sqrt{7}}{2}<m<\frac{\sqrt{7}}{2}$

Vậy khi $-\frac{\sqrt{7}}{2}<m<\frac{\sqrt{7}}{2}$ thì x² – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.