Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình thoi cạnh a


Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, Tính số đo của góc nhị diện [S, CD, A].

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 29 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, SA=a2. Tính số đo của góc nhị diện [S, CD, A].

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình thoi cạnh a

Gọi H là hình chiếu của A trên CD suy ra AH ⊥ CD.

Ta có: SA ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD).

Suy ra: SA ⊥ CD và SA ⊥ AH.

Ta có: CD ⊥ AH, CD ⊥ SA và AH ∩ SA = A trong (SAH) nên CD ⊥ (SAH).

Mà SH ⊂ (SAH), suy ra CD ⊥ SH.

Ta thấy: SH ⊥ CD, AH ⊥ CD và SH ∩ AH = H ∈ CD.

Suy ra SHA^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A].

Vì AD = CD = AC = a nên tam giác ACD đều.

Hơn nữa, AH là đường cao của tam giác ACD (do AH ⊥ CD) nên AH cũng là đường đường trung tuyến của tam giác ACD.

Suy ra HD=AD2=a2.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H có:

AD2 = AH2 + HD2

Suy ra AH=AD2HD2=a2a22=a32.

Xét tam giác SAH vuông tại A có:

tanSHA^=SAAH=a2a32=33SHA^=30°.

Vậy số đo của góc nhị diện [S, CD, A] là SHA^=30°.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: