Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α1, α2, α3, α4 lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD)

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α, α, α, α lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 31 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α₁, α₂, α₃, α₄ lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

SA = SB = SC = SD ⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi α1, α2, α3, α4 lần lượt là góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC, SD và mặt phẳng (ABCD)

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD) hay SO ⊥ (ABCD).

Mà OA, OB, OC, OD đều nằm trên (ABCD) nên SO ⊥ OA, SO ⊥ OB, SO ⊥ OC, SO ⊥ OD.

Suy ra: bốn tam giác SAO, SBO, SCO, SDO vuông tại O nên các góc $\hat{S A O}$ , $\hat{S B O}, \hat{S C O,}$ $\hat{S D O}$ đều lớn hơn 0° và nhỏ hơn 90°.

Vì O là hình chiếu của S trên (ABCD), ta suy ra: $α_{1} = \hat{S A O}$ và 0° < α₁ < 90°.

Xét tam giác SAO vuông tại O có: $\sin α_{1} = \sin \hat{S A O} = \frac{S O}{S A}$ .

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

· $\sin α_{2} = \sin \hat{S B O} = \frac{S O}{S B}$ (0° < α₂ < 90°).

· $\sin α_{3} = \sin \hat{S C O} = \frac{S O}{S C}$ (0° < α₃ < 90°).

· $\sin α_{4} = \sin \hat{S D O} = \frac{S O}{S D}$ (0° < α₄ < 90°).

Như vậy: SA = SB = SC = SD $\Leftrightarrow \frac{S O}{S A} = \frac{S O}{S B} = \frac{S O}{S C} = \frac{S O}{S D}$

⇔ sinα₁ = sinα₂ = sinα₃ = sinα₄

⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄ (vì 0° < α₁ < 90°; 0° < α₂ < 90°; 0° < α₃ < 90°; 0° < α₄ < 90°)

Vậy SA = SB = SC = SD ⇔ α₁ = α₂ = α₃ = α₄.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯