Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại M', qua N vẽ đường thẳng song song với AB cắt AF tại N'.
Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Bài 35 trang 108 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại M', qua N vẽ đường thẳng song song với AB cắt AF tại N'.
a) Chứng minh rằng (MNN') // (CDE).
b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng EF tại I. Tính , biết .
Lời giải:
a) Ta có MM' // AB và NN' // AB (theo đề bài) nên MM' // NN'.
Suy ra M, M', N', N cùng thuộc một mặt phẳng. (1)
Ta có CD // AB (do ABCD là hình bình hành) và EF // AB (do ABEF là hình bình hành) nên CD // EF, suy ra C, D, F, E cùng thuộc một mặt phẳng.
Do AB // CD nên MM' // CD, mà CD ⊂ (CDE), suy ra MM' // (CDE). (2)
Theo định lí Thalés trong tam giác ACD, ta có (MM' // CD).
Tương tự, trong tam giác AFB có (NN' // AB).
Mà (theo đề bài). Do đó, , từ đó suy ra M'N' // DF.
Mà DF ⊂ (CDE) (do C, D, F, E cùng thuộc một mặt phẳng) nên M'N' // (CDE). (3)
Từ (2) và (3) suy ra (MM'N') // (CDE). (4)
Từ (1) và (4) suy ra (MNN') // (CDE).
b) Ta có AF // BE và AD // BC, từ đó suy ra (ADF) // (BCE).
Khi đó đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng song song (ADF), (P), (BCE) lần lượt tại A, M, C; đường thẳng FE cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại F, I, E.
Áp dụng định lí Thalés trong không gian, ta có: .
Suy ra . Mà nên .
Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay khác: