Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD)

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 44 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD)

Gọi H là giao điểm của BM và AC.

Suy ra: H ∈ BM ⊂ (SBM) và H ∈ AC ⊂ (SAC) nên ta có H ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Mà S ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Từ đó suy ra: SH = (SBM) ∩ (SAC).

Ta có: (SAC) ⊥ (ABCD), (SBM) ⊥ (ABCD), SH = (SBM) ∩ (SAC).

Suy ra SH ⊥ (ABCD), tức H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).

Nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AH và bằng

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\hat{A D C} = 90 ° .$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

$A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = \sqrt{A D^{2} + A B^{2}}$ (vì DC = AB do ABCD là hình chữ nhật).

$\Rightarrow A C = \sqrt{{(4 a)}^{2} + {(3 a)}^{2}} = 5 a .$

Do M là trung điểm của AD nên $A M = \frac{A D}{2} = \frac{4 a}{2} = 2 a .$

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC hay AM // BC.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès với AM // BC ta có: $\frac{A H}{H C} = \frac{A M}{B C} = \frac{2 a}{4 a} = \frac{1}{2} .$

$\Rightarrow A H = \frac{1}{2} H C .$

$\Rightarrow A H = \frac{1}{3} A C = \frac{1}{3} .5 a = \frac{5 a}{3} .$

Vì SH ⊥ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H có: $\cos φ = \cos \hat{S A H} = \frac{A H}{S A} = \frac{\frac{5 a}{3}}{5 a} = \frac{1}{3} .$

Lời giải SBT Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯