Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m

❮ Bài trước Bài sau ❯

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết nối tri thức

Bài 1.29 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

$y = 2 + 2,5 \sin 2 π (x - \frac{1}{4})$

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m

Lời giải:

a) Vì $- 1 \leq \sin 2 π (x - \frac{1}{4}) \leq 1$ nên $- 2,5 \leq 2,5 \sin 2 π (x - \frac{1}{4}) \leq 2,5$ và do đó ta có $2 - 2,5 \leq 2 + 2,5 \sin 2 π (x - \frac{1}{4}) \leq 2 + 2,5$

hay $- 0,5 \leq 2 + 2,5 \sin 2 π (x - \frac{1}{4}) \leq 4,5 \forall x \in ℝ$ .

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2 π (x - \frac{1}{4}) = 1$ $\Leftrightarrow 2 π (x - \frac{1}{4}) = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2} + k (k \in ℤ)$ . Do x ≥ 0 nên $x = \frac{1}{2} + k (k \in ℕ)$ .

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2},...$ phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2 π (x - \frac{1}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow 2 π (x - \frac{1}{4}) = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = k (k \in ℤ)$ . Do x ≥ 0 nên $x = k (k \in ℕ)$ .

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi $2 + 2,5 \sin 2 π (x - \frac{1}{4}) = 2$

$\Leftrightarrow \sin 2 π (x - \frac{1}{4}) = 0$

$\Leftrightarrow 2 π (x - \frac{1}{4}) = k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} (k \in ℤ)$

Do x ≥ 0 nên $x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} (k \in ℕ)$ .

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm $x = \frac{1}{4}$ phút.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯