Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a


Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

a) Chứng minh rằng AH (BCD).

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).

Lời giải:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a

a) Vì M là trung điểm của CD nên BM là trung tuyến.

Vì BCD là tam giác đều nên CD BM.

Tương tự CD AM nên CD (ABM), suy ra CD ^ AH.

Mà AH BM nên AH (BCD).

b) Vì AM CD, BM CD nên góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AB,BM) = AMB^.

Tam giác BCD đều có BM là đường cao đồng thời là trung tuyến, ta chứng minh được H là trọng tâm tam giác BCD nên BM = a32 và HM = 13BM = a36.

Tam giác ADC đều có AM là đường cao đồng thời là trung tuyến nên AM = a32 .

Xét tam giác AHM vuông tại H nên cosAMB^ = cosAMH^=HMAM=13.

Vậy côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng 13 .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: