Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

a) Chứng minh rằng AH $⊥$ (BCD).

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).

Lời giải:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a

a) Vì M là trung điểm của CD nên BM là trung tuyến.

Vì BCD là tam giác đều nên CD $⊥$ BM.

Tương tự CD $⊥$ AM nên CD $⊥$ (ABM), suy ra CD ^ AH.

Mà AH $⊥$ BM nên AH $⊥$ (BCD).

b) Vì AM $⊥$ CD, BM $⊥$ CD nên góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AB,BM) = $\hat{A M B}$ .

Tam giác BCD đều có BM là đường cao đồng thời là trung tuyến, ta chứng minh được H là trọng tâm tam giác BCD nên BM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ và HM = $\frac{1}{3}$ BM = $\frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Tam giác ADC đều có AM là đường cao đồng thời là trung tuyến nên AM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác AHM vuông tại H nên cos $\hat{A M B}$ = cos $\hat{A M H} = \frac{H M}{A M} = \frac{1}{3}$ .

Vậy côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng $\frac{1}{3}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯