Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].

Lời giải:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO $⊥$ BD.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, nên A'B = $\sqrt{A' A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'AD vuông tại A, nên A'D = $\sqrt{A' A^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BD có A'D = A'B nên tam giác A'BD là tam giác cân mà A'O là trung tuyến nên A'O đồng thời là đường cao. Do đó A'O $⊥$ BD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng góc giữa đường thẳng AO và A'O mà (AO,A'O) = $\hat{A O A'}$ .

Xét tam giác ADC vuông tại D, có AC = $\sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên AO = $\frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ ;

Xét tam giác A'AO vuông tại A, có OA' = $\sqrt{A A'^{2} + O A^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác AA'O vuông tại A, có cos $\hat{A O A'} = \frac{A O}{A' O} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Xét tam giác BCC' vuông tại C có: C'B = $\sqrt{B C^{2} + C C'^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác C'CD vuông tại C có: C'D = $\sqrt{D C^{2} + C C'^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác C'BD có C'B = C'D nên tam giác C'BD cân tại C' mà C'O là trung tuyến nên C'O đồng thời là đường cao hay C'O $⊥$ BD.

Vì A'O $⊥$ BD, C'O $⊥$ BD nên góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\hat{A' O C'}$ .

Ta có OA' = C'O = $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ ; A'C' = a $\sqrt{2}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác A'OC' ta được:

cos $\hat{A' O C'} = \frac{O A'^{2} + O C'^{2} - A' C'^{2}}{2 . O A' . O C'} = \frac{1}{3}$ .

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\frac{1}{3}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác: