Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) vuông góc (ABCD)


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) (ABCD), (SAD) (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) vuông góc (ABCD)

*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có (SAB) (ABCD), (SAD) (ABCD) nên SA (ABCD). Suy ra SA BD.

Mà AC BD (do ABCD là hình vuông) nên BD (SAC). Do đó BD SO.

Vì BD SO, CO BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng SOC^.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a2, AO = a22.

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = SA2+AO2=a2+a222=a62 và cosSOC^ = -cosSOA^ = -OASO = -33.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng -33 .

*) Kẻ BM SC tại M.

Vì ABCD là hình vuông nên BD AC mà BD SA (do SA (ABCD)).

Do đó BD (SAC), suy ra BD SC mà BM SC nên SC (BDM).

Suy ra SC DM.

Xét SAB và SAD có SA chung, SAB^=SAD^ = 90o, AB = AD nên SAB = SAD.

Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).

Xét SBC và SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên SBC = SDC.

Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).

Vì BM SC và DM SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng BMD^.

Có BC AB, BC SA (SA (ABCD)) nên BC (SAB) ⇒ BC SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = SA2+AB2=a2.

Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = SB2+BC2=a3

BM.SC = SB.BC DM = BM = SB.BCSC=a63.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cosBMD^=BM2+DM2-BD22.BM.DM=-12.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng -12.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: