Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) vuông góc (ABCD)

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $⊥$ (ABCD), (SAD) $⊥$ (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Lời giải:

*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có (SAB) $⊥$ (ABCD), (SAD) $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ (ABCD). Suy ra SA $⊥$ BD.

Mà AC $⊥$ BD (do ABCD là hình vuông) nên BD $⊥$ (SAC). Do đó BD $⊥$ SO.

Vì BD $⊥$ SO, CO $⊥$ BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng $\hat{S O C}$ .

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a $\sqrt{2}$ , AO = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = $\sqrt{S A^{2} + A O^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ và cos $\hat{S O C}$ = -cos $\hat{S O A}$ = - $\frac{O A}{S O}$ = - $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng - $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

*) Kẻ BM $⊥$ SC tại M.

Vì ABCD là hình vuông nên BD $⊥$ AC mà BD $⊥$ SA (do SA $⊥$ (ABCD)).

Do đó BD $⊥$ (SAC), suy ra BD $⊥$ SC mà BM $⊥$ SC nên SC $⊥$ (BDM).

Suy ra SC $⊥$ DM.

Xét $∆$ SAB và $∆$ SAD có SA chung, $\hat{S A B} = \hat{S A D}$ = 90^o, AB = AD nên $∆$ SAB = $∆$ SAD.

Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$ SBC và $∆$ SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên $∆$ SBC = $∆$ SDC.

Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).

Vì BM $⊥$ SC và DM $⊥$ SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng $\hat{B M D}$ .

Có BC $⊥$ AB, BC $⊥$ SA (SA $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SAB) ⇒ BC $⊥$ SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = $\sqrt{S B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{3}$ và

BM.SC = SB.BC $\Rightarrow$ DM = BM = $\frac{S B . B C}{S C} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cos $\hat{B M D} = \frac{B M^{2} + D M^{2} - B D^{2}}{2 . B M . D M} = - \frac{1}{2}$ .

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng - $\frac{1}{2}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯