Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).

b) Chứng minh rằng (SMD) (SHC).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều

a) Vì tam giác SAD đều, SH là trung tuyến nên SH là đường cao hay SH AD.

Ta có (SAD) (ABCD) và SH AD nên SH (ABCD).

Suy ra CH là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà (SC,CH) = SCH^.

Vì tam giác SAD đều cạnh a, SH là đường cao nên SH = a32.

Xét tam giác DHC vuông tại D, có HC = DC2+DH2=a2+a22=a52.

Xét tam giác SHC vuông tại H, có SC = SH2+CH2=3a42+5a24=a2, cosSCH^=HCSC=104.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng 104 .

b) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD mà M, H lần lượt là trung điểm của AB và AD nên DH = HA = AM = MB.

Xét CDH và DAM có: CD = DA; CDH^=DAM^ = 90o; DH = AM.

Do đó CDH = DAM.

CDH = DAM suy ra CHD^=DMA^.

Do đó HDM^+DHC^=HDM^+DMA^= 90o. Suy ra DM CH.

Vì SH (ABCD) nên SH DM mà DM CH. Do đó DM (SCH).

Mà DM (SMD) nên (SMD) (SHC).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: