Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc


Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Kết nối tri thức

Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC (OAH);

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2 .

Lời giải:

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

a) Vì OA OB, OA OC nên OA (OBC). Suy ra OA BC.

Mà OH (ABC) nên OH BC. Do đó BC (OAH).

b) Vì BC (OAH) nên BC AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)

Có OH (ABC) nên OH AC.

Có OB OA, OC OB nên OB (OAC) nên OB AC mà OH AC, từ đó suy ra AC (OBH), suy ra CA BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.

Vì OA (OBC) nên OA OK .

Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên 1OH2=1OA2+1OK2 .

Vì AK BC mà OA BC nên BC (OAK), suy ra OK BC.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên 1OK2=1OB2+1OC2 .

Do đó 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2 .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: