Chứng minh rằng căn bậc hai của 2 là số vô tỉ

Giải SBT Toán 7 Bài 1: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 11 trang 39 Sách bài tập Toán 7 Tập 1 trong Bài 1: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh dễ dàng nắm được cách làm bài tập SBT Toán lớp 7.

Bài 11 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.

Như vậy, $\sqrt{2}$ có thể viết được dưới dạng $\frac{m}{n}$ với m, n ∈ ℕ và (m, n) = 1.

Ta có $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ nên ${\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2$ hay $2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2$.

Suy ra m² = 2n².

Mà (m, n) = 1 nên m² chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2.

Do đó m = 2k với k ∈ ℕ và (k, n) = 1.

Thay m = 2k vào m² = 2n² ta được 4k² = 2n² hay n² = 2k².

Do (k, n) = 1 nên n² chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2.

Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Vậy $\sqrt{2}$ không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.