Xét đa thức P(x) = (2x^2 + a)(2x^3 – 3) – 5a(x + 3) + 1 (với a là một số)

Xét đa thức P(x) = (2x + a)(2x – 3) – 5a(x + 3) + 1 (với a là một số).

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

Bài 36 trang 50 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Xét đa thức P(x) = (2x² + a)(2x³ – 3) – 5a(x + 3) + 1 (với a là một số).

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức P(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng – 37.

Lời giải:

a) Ta có:

P(x) = (2x² + a)(2x³ – 3) – 5a(x + 3) + 1

= 2x² . (2x³ – 3) + a . (2x³ – 3) – 5a . x – 5a . 3 + 1

= 2x² . 2x³ – 2x² . 3 + a . 2x³ – a . 3 – 5ax – 15a + 1

= 4x⁵ – 6x² + 2ax³ – 3a – 5ax – 15a + 1

= 4x⁵ + 2ax³ – 6x² – 5ax + (–15a – 3a) + 1

= 4x⁵ + 2ax³ – 6x² – 5ax – 18a + 1

Vậy P(x) = 4x⁵ + 2ax³ – 6x² – 5ax – 18a + 1.

b) Đa thức P(x) có các hệ số là 4; 2a; –6; –5a; –18a; 1.

Tổng các hệ số của đa thức P(x) là:

4 + 2a + (–6) + (–5a) + (–18a) + 1 = – 21a – 1.

Theo bài ta có tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng – 37.

Nên – 21a – 1 = – 37.

Suy ra – 21a = – 36

Do đó a = $\frac{36}{21}=\frac{12}{7}$.

Vậy a = $\frac{12}{7}$.