Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số - Cánh diều

Bài 17 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $M = \frac{x - 2 y}{3 x + 6 y} : \frac{x^{2} - 4 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$ ;

b) $N = (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}) (\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y})$ ;

c) $P = (\frac{x^{3} + y^{3}}{x + y} - x y) : (x^{2} - y^{2}) + \frac{2 y}{x + y}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $M = \frac{x - 2 y}{3 x + 6 y} : \frac{x^{2} - 4 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$

$= \frac{x - 2 y}{3 x + 6 y} . \frac{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}{x^{2} - 4 y^{2}}$

$= \frac{(x - 2 y) (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2})}{(3 x + 6 y) (x^{2} - 4 y^{2})}$

$= \frac{(x - 2 y) {(x + 2 y)}^{2}}{3. (x + 2 y) (x + 2 y) (x - 2 y)} = \frac{1}{3}$ .

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) $N = (x - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}) (\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y})$

$= [\frac{x (x + y)}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}] . [\frac{x - y}{y (x - y)} + \frac{2 y}{y (x - y)}]$

$= \frac{x^{2} + x y - x^{2} - y^{2}}{x + y} . \frac{x - y + 2 y}{y (x - y)}$

$= \frac{x y - y^{2}}{x + y} . \frac{x + y}{y (x - y)}$

$= \frac{y (x - y) (x + y)}{y (x + y) (x - y)} = 1$ .

Vậy giá trị của N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) $P = (\frac{x^{3} + y^{3}}{x + y} - x y) : (x^{2} - y^{2}) + \frac{2 y}{x + y}$

$= [\frac{x^{3} + y^{3}}{x + y} - \frac{x y (x + y)}{x + y}] . \frac{1}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2 y}{x + y}$

$= \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) - x y (x + y)}{x + y} . \frac{1}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2 y}{x + y}$

$= \frac{{(x - y)}^{2}}{(x - y) (x + y)} + \frac{2 y}{x + y}$

$= \frac{x - y}{x + y} + \frac{2 y}{x + y} = \frac{x + y}{x + y} = 1$ .

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số hay khác: