Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh: tan (góc B/2) = AC/ (AB+BC)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh:

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Cánh diều

Bài 15 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh:

$\tan \frac{\hat{B}}{2} = \frac{A C}{A B + B C} .$

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh: tan (góc B/2) = AC/ (AB+BC)

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC. Khi đó, ta có $\hat{B_{1}} = \frac{\hat{B}}{2} .$

Vì tam giác ABD vuông tại A nên $\tan \hat{B_{1}} = \frac{A D}{A B} .$

Theo tính chất đường phân giác, ta có: $\frac{A D}{C D} = \frac{A B}{B C}$ hay $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C} .$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C} = \frac{A D + C D}{A B + B C} = \frac{A C}{A B + B C} .$

Vậy $\tan \hat{B_{1}} = \frac{A C}{A B + B C}$ hay $\tan \frac{\hat{B}}{2} = \frac{A C}{A B + B C} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông hay khác: