Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm

---

Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO (Hình 25). Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’.

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9 - Cánh diều

Bài 31 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO (Hình 25). Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’.

a) Chứng minh tam giác BN'M' là tam giác vuông cân.

b) Tính tỉ số diện tích tam giác ANM và diện tích tam giác CN'M'.

c) Phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải:

a) Do phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’ nên ON = ON’, OM = OM’ và $\widehat{NO{N}^{\text{'}}}=\widehat{MO{M}^{\text{'}}}=90°.$

Do đó các tam giác ONN’ và OMM’ là các tam giác vuông cân tại O.

Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.

Ta có OA = 2ON nên OB = OA = 2ON = 2ON’, do đó N’ là trung điểm của OB.

Suy ra $AN=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OB=BN’.$

Xét ∆OAB vuông tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên $OM=\frac{1}{2}AB,$ mà AB = BC và OM = OM’ nên $O{M}^{\text{'}}=\frac{1}{2}BC.$

Xét ∆OBC vuông tại O có $O{M}^{\text{'}}=\frac{1}{2}BC$ nên OM’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền hay M’ là trung điểm của BC.

Suy ra $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC=BM’.$

Xét ∆ANM và ∆BN’M’ có:

AN = BN’, $\widehat{MAN}=\widehat{M^{\text{'}}B{N}^{\text{'}}}=45°,$ AM = BM’

Do đó ∆ANM = ∆BN’M’ (c.g.c).

Suy ra MN = M’N’ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ANM}=\widehat{B{N}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}$ (hai góc tương ứng).

Xét ∆OAB có N, M lần lượt là trung điểm của AO, AB nên NM là đường trung bình của tam giác, do đó NM // OB và $NM=\frac{1}{2}OB.$

Ta có MN = M’N’ và $B{N}^{\text{'}}=\frac{1}{2}OB=NM$ nên BN’ = M’N’.

Lại có NM // OB và OB ⊥ AO nên NM ⊥ AO hay $\widehat{ANM}=90°,$ suy ra $\widehat{B{N}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=90°.$

Tam giác BN’M’ có BN’ = M’N’ và $\widehat{B{N}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=90°$ nên là tam giác vuông cân tại N’.

b) Kí hiệu diện tích các tam giác ANM, AOB, CN’M’, CN’B, COB lần lượt là S_ANM, S_AOB, S_CN’M’, S_CN’B, S_COB. Gọi h_N’ là chiều cao kẻ từ N’ đến BC.

Ta có: $S_{ANM}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}AO\cdot \frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{2}OA\cdot OB\right)=\frac{1}{4}{S}_{AOB};$

         $S_{C{N}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\cdot h_{N^{\text{'}}}\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot h_{N^{\text{'}}}\cdot \frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot h_{N^{\text{'}}}\cdot BC\right)=\frac{1}{2}{S}_{C{N}^{\text{'}}B};$

          $S_{C{N}^{\text{'}}B}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot N^{\text{'}}B=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot \frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OB\right)=\frac{1}{2}{S}_{COB}.$

Suy ra: $S_{C{N}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}{S}_{C{N}^{\text{'}}B}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{S}_{COB}=\frac{1}{4}{S}_{COB}.$

Mặt khác, $S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OB=S_{COB}.$

Do đó: S_ANM = S_CN’M’.

Vậy S_ANM : S_CN’M’ = 1.

c) Ta có AC ⊥ BD tại trung điểm O của BD nên AO là đường trung trực của BC.

Mà N ∈ AC nên ND = NB.

Do đó tam giác NDB cân ở N và dễ thấy rằng $\widehat{DNB}>90°.$

Suy ra phép quay thuận chiều 90° tâm N không thể biến điểm D thành điểm B.

Vậy phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là sai.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

• Bài 23 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2: Tổng số đo tất cả các góc của ngũ giác ABCDE là ....

• Bài 24 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(–2; –2). Phép quay thuận chiều 90° tâm O ....

• Bài 25 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Quan sát các đa giác ở Hình 23 và cho biết hình nào là đa giác đều ....

• Bài 26 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE. Về phía ngoài của ngũ giác đó dựng tam giác đều PDE ....

• Bài 27 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H ....

• Bài 28 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDEF. Về phía ngoài lục giác dựng các hình vuông BAA1A2 ....

• Bài 29 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDEF với tâm O thoả mãn phép quay thuận chiều ....

• Bài 30 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD với A(0; 2), B(–2; 0), C(0; –2), D(2; 0) ....

• Bài 32 trang 115 SBT Toán 9 Tập 2: Quan sát bề mặt của chiếc diều, khung cửa sổ, chiếc bàn như ở các hình 26a, 26b, 26c ....