Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC

---

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Cánh diều

Bài 55 trang 124 SBT Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh $\widehat{BAC}=\widehat{COD}=\widehat{ABC}=\widehat{ACO}.$

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh AM > CM và $\widehat{COM}=2\widehat{CAM}.$

c) Khi M di chuyền trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Lời giải:

a) Xét đường tròn (O) đường kính có C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC nên

⦁ $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AC}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=\frac{1}{2}\cdot 180°=90°;$

⦁ $\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{AD}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Do đó $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°;$ $\widehat{COD}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}=45°;$ $\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°;$ $\widehat{AOC}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{AC}=90°.$

Xét ∆AOC cân tại O (do OA = OC) có $\widehat{AOC}=90°$ nên ∆AOC vuông cân tại O, suy ra $\widehat{ACO}=45°.$

Vậy $\widehat{BAC}=\widehat{COD}=\widehat{ABC}=\widehat{ACO}=45°.$

b) Do M thuộc cung nhỏ CD nên $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AM}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{AD}+\text{sđ}\stackrel{⏜}{DM}=45°+\text{sđ}\stackrel{⏜}{DM}>45°$ và $\text{sđ}\stackrel{⏜}{CM}<\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}=45°.$

Suy ra $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AM}>\text{sđ}\stackrel{⏜}{CM}\left(1\right)$

Mà $\widehat{ACM},\widehat{CAM}$ lần lượt là góc nội tiếp chắn cung AM và cung CM của đường tròn (O) nên $\widehat{ACM}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AM},\widehat{CAM}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{CM}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ACM}>\widehat{CAM}.$

Tam giác ACM có $\widehat{ACM}>\widehat{CAM}$ nên AM > CM.

Xét đường tròn (O), ta có: $\widehat{COM}=2\widehat{CAM}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CM).

c)

Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với OM và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

Diện tích của tam giác MAC là: $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot MN.$

Do đó S lớn nhất khi MN lớn nhất do AC không đổi.

Tam giác OAC cân tại O có OD là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, do đó OK ≤ OI.

Ta cũng có MN ≤ MI

Suy ra: OK + MN ≤ OI + MI = OM và OM = OD = OK + DK

Do đó MN ≤ DK.

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi MN = DK hay M là điểm chính giữa của cung AC.

Vậy diện tích của tam giác MAC lớn nhất bằng $\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DK$ khi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Bài 47 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 1). Khi đó, đường tròn (A; 1) ....

• Bài 48 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O đường kính AC = 2 cm với $\widehat{CBD}=55°$ (Hình 51). ....

• Bài 49 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm M, N với OO’ = 24 cm và MN = 10 cm (Hình 52). Khi đó, R bằng: ....

• Bài 50 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Trong 20 giây, bánh xe của một chiếc xe máy quay được 80 vòng. Độ dài bán kính của bánh xe đó là 25 cm. Khi đó, quãng đường xe máy đi được trong 3 phút là: ....

• Bài 51 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (O; 12 cm) và (O; 7 cm) là: ....

• Bài 52 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H ....

• Bài 53 trang 124 SBT Toán 9 Tập 1: Cho ba đường tròn (A; 10 cm), (B; 15 cm), (C; 15 cm) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’ ....

• Bài 54 trang 124 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, ....

• Bài 56 trang 124 SBT Toán 9 Tập 1: Thành phố Hồ Chí Minh có vĩ độ là 10°10’ Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Xích Đạo (làm tròn kết quả đến hàng trăm của kilômét), ....

• Bài 57 trang 124 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD $\left(\widehat{A}=\widehat{B}=90°\right)$ với $\widehat{C}=30°,$ BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a ....

• Bài 58 trang 125 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R), (O; r) với R + r = 1,2 dm, R > r và diện tích hình vành khuyên đó ....

• Bài 59 trang 125 SBT Toán 9 Tập 1: Tam giác Reuleaux là hình tạo nên từ phần giao nhau của ba đường tròn cùng bán kính, tâm của mỗi đường tròn chính là giao điểm của hai đường tròn còn lại ....

• Bài 60 trang 125 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn sao cho độ dài cung nhỏ AB ....