Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Kết nối tri thức

Bài 3.19 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mathrm{0,2}}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left[\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]+\left(\sqrt{5}-1\right)\left[\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]}{\left[\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]\left[\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]}$

$=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]+\sqrt{5}.\left[-\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]}{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-5}$

$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{5}}{4+2\sqrt{3}-5}$$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{3}-1}$

$=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}$

$\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Do đó $P=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}.\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.\sqrt{\mathrm{0,2}}=2\sqrt{\mathrm{5.0,2}}=2\sqrt{1}=2$

Vậy P có giá trị là một số nguyên (P = 2).

Lời giải SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai hay khác:

• Bài 3.15 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính giá trị biểu thức $P={\left(\sqrt{20}+2\sqrt{45}-3\sqrt{80}\right)}^2$. ...

• Bài 3.16 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $9\sqrt{2};8\sqrt{3};5\sqrt{6};4\sqrt{7}$. ...

• Bài 3.17 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính ${\left(\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}-2\sqrt{2}\right)}^2.$ ...

• Bài 3.18 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}.$ ...

• Bài 3.20 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: a) Trục căn ở mẫu của biểu thức $\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$. ...