Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Kết nối tri thức

Bài 5.21 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;

b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);

C) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);

d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết HB = 2 cm và HC = 4,5 cm.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH

a) Ta thấy AH là bán kính của đường tròn (A) bán kính AH và AH ⊥ BC.

Do đó BC là tiếp tuyến của đường tròn (A) bán kính AH tại H. (đpcm)

b) Do M đối xứng với H qua B nên AM = AH, BM = BH.

Xét hai tam giác MAB và HAB có:

Chung cạnh AB; AM = AH; BM = BH.

Do đó ∆MAB = ∆HAB (c.c.c), suy ra $\hat{A M B} = \hat{A H B} = 90 °$ hay AM ⊥ MB.

Từ ∆MAB = ∆HAB (c.c.c), suy ra AM = AH.

Do đó M nằm trên đường tròn (A) bán kính AH.

Ta có: AM là bán kính của đường tròn (A) bán kính AH và AM ⊥ MB

Do đó MB là tiếp tuyến của đường tròn (A) bán kính AH tại M. (đpcm)

Tương tự ta chứng minh được CN là tiếp tuyến của đường tròn (A) bán kính AH tại N.

c) Theo câu b, ∆MAB = ∆HAB nên $\hat{M A B} = \hat{H A B}$

Tương tự, ∆NAC = ∆HAC nên $\hat{N A C} = \hat{H A C}$ .

Mà $\hat{H A B} + \hat{H A C} = 90 °$ do tam giác ABC vuông tại A nên:

$\hat{M A B} + \hat{H A B} + \hat{H A C} + \hat{N A C} = 2 (\hat{H A B} + \hat{H A C}) = 2.90 ° = 180 °$

Suy ra M, A, N thẳng hàng.

Mà M và N nằm trên (A) nên MN là đường kính của (A). (đpcm)

d) Theo câu b, BM ⊥ MN và CN ⊥ MN nên BM // CN, suy ra tứ giác BMNC là hình thang vuông.

M đối xứng với H qua AB nên BM = BH.

N đối xứng với H qua AC nên CN = CH.

Ta có BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5 (cm)

Xét hai tam giác HBA và ABC ta có:

Chung góc B; $\hat{B H A} = \hat{B A C} = 90 °$

Suy ra ∆HBA ᔕ ∆ABC (g.g), do đó $\hat{B A H} = \hat{A C H}$

Xét hai tam giác HBA và HBC có:

$\hat{B H A} = \hat{C H A} = 90 °$

$\hat{B A H} = \hat{A C H}$

Suy ra ∆HBA ᔕ ∆HBC (g.g), do đó ta có:

$\frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H}$ hay $A H = \sqrt{B H . C H} = \sqrt{4,5.2} = 3$ (cm)

MN là đường kính của (A) nên MN = 2AH = 2 . 3 = 6 (cm)

Diện tích tứ giác BMNC là:

$\frac{1}{2} M N (B M + C N) = \frac{1}{2} .6,5.6 = 19,5$ (cm²)

Vậy diện tích tứ giác BMNC là 19,5 cm².

Lời giải SBT Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay khác:

SBT Toán 9 Kết nối tri thức