Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) và đường thẳng ∆: x – 2y + 8 = 0. Lấy điểm C ∈ ∆. Điểm C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17. Tọa độ của C là: A. C(10; 12); B. C(12; 10);

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$. Suy ra $AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10}$.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$.

Suy ra đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{AB}} = \left( {1;3} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của AB: 1(x – 2) + 3(y – 2) = 0.

⇔ x + 3y – 8 = 0.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–8; 0) và có vectơ chỉ phương ${\vec u_\Delta } = \left( {2;1} \right)$.

Suy ra phương trình tham số của ∆: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 8 + 2t\\y = t\end{array} \right.$

Ta có C ∈ ∆. Suy ra tọa độ C(2t – 8; t).

Theo đề, ta có diện tích tam giác ABC bằng 17.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {C,AB} \right).AB = 17$.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{\left| {2t - 8 + 3t - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}.\sqrt {10} = 17$

⇔ |5t – 16| = 34

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t - 16 = 34\\5t - 16 = - 34\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - \frac{{18}}{5}\end{array} \right.$

Với t = 10, ta có C(12; 10).

Với $t = - \frac{{18}}{5}$, ta có $C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)$.

Vậy C(12; 10) hoặc $C\left( { - \frac{{76}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.