Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

R = \frac{a}{3};

R = \frac{a}{9};

R = \frac{a}{2};

R = \frac{a}{6} .

Trả lời:

Đáp án đúng là : B

Ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}$

$= 2 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 3 (\vec{M I} + \vec{I B}) + 4 (\vec{M I} + \vec{I C}) .$

$= 9 \vec{M I} + 2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}$

Ta chọn điểm I sao cho $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3 (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C}) + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0} .$ (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = 3 \vec{I G}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9 \vec{I G} + \vec{I C} - \vec{I A} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I G} + \vec{A I} + \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 9 \vec{I G} + \vec{A C} = \vec{0} \Leftrightarrow 9 \vec{I G} = \vec{C A}$ (3)

Do đó $|2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M A}|$

$\Leftrightarrow |9 \vec{M I} + 2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C}| = |\vec{A B}|$

$\Leftrightarrow |9 \vec{M I}| = |\vec{A B}|$ (do $2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} + 4 \vec{I C} = \vec{0}$ )

$\Leftrightarrow 9 M I = A B \Leftrightarrow I M = \frac{A B}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R = \frac{A B}{9} = \frac{a}{9} .$

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán 10 CTST có lời giải hay khác:

Câu 1:

Một con tàu chạy trên biển theo hướng nam với vận tốc tàu là 40 km/h. Biết dòng nước chảy về hướng đông với vận tốc 20 km/h. Khi đó tàu di chuyển với vận tốc khoảng bao nhiêu km/h?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho 3 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M. Biết vật đó đứng yên và lực F1, F2 có cùng độ lớn là 100 N, hai lực tạo với nhau một góc 90° . Độ lớn của lực F3 là?

Xem lời giải »

Câu 3:

Một người kéo một vật nặng trên mặt sàn nằm ngang với lực $\vec{F}$ tạo với phương ngang một góc α = 60° làm cho vật đó dịch chuyển 50 m theo vectơ $\vec{d}$ . Tìm độ lớn của lực $\vec{F}$ biết công người đó kéo đi là A = 2 000 J.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hình chữ nhật ABCD có $A D = a \sqrt{2}$ , AB = a. Gọi K là trung điểm cạnh AD. Tính $\vec{B K} . \vec{A C}$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm, góc ABC là góc nhọn và diện tích bằng 54 cm2. Tính $c o s (\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán 10 CTST có lời giải hay khác: