Giá trị nào của m để phương trình (m^2 – m – 6)x^2 – 2(m + 2)x – 4 = 0 có nghiệm?

Giá trị nào của m để phương trình (m² – m – 6)x² – 2(m + 2)x – 4 = 0 có nghiệm?

A. m ∈ (–∞; –2) \ {3};              

B. m ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞);                 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình f(x) = (m² – m – 6)x² – 2(m + 2)x – 4 = 0.

+) Trường hợp 1: a = 0 ⇔ m² – m – 6 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = –2.

• Với m = 3, ta có 0.x² – 2.(3 + 2)x – 4 = 0

⇔ –10x – 4 = 0 ⇔ x = $-\frac{2}{5}$.

Do đó m = 3 thỏa mãn.

• Với m = –2, ta có 0.x² – 2(–2 + 2)x – 4 = 0.

⇔ 0.x – 4 = 0 (vô nghiệm)

Do đó m = –2 không thỏa mãn.

+) Trường hợp 2: a ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 và m ≠ –2.

f(x) là tam thức bậc hai ẩn x có:

∆’ = (m + 2)² – (m² – m – 6).(–4)

= m² + 4m + 4 + 4m² – 4m – 24

= 5m² – 20

Phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0

⇔ 5m² – 20 ≥ 0

Tam thức bậc hai f(m) = 5m² – 20 có ∆ = 0² – 4.5.(–20) = 400 > 0.

Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là: m₁ = –2, m₂ = 2.

Ta lại có a = 5 > 0.

Vì vậy:

⦁ f(m) dương với mọi m thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (2; +∞);

⦁ f(m) âm với mọi m thuộc khoảng (–2; 2);

⦁ f(m) = 0 khi m = –2 hoặc m = 2.

Do đó bất phương trình 5m² – 20 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [2; +∞).

So với điều kiện m ≠ 3 và m ≠ –2, ta nhận m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.

Vậy ta chọn phương án D.