Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hypebol có phương trình: .
Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7
Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: .
a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.
c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M1M2 nhỏ nhất.
Lời giải:
a) A1 thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A1 thuộc hypebol, do đó ta có:
⇔ x2 = a2.
Do hoành độ của A1 nhỏ hơn hoành độ của A2 nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A1 và A2 là: A1(− a; 0) và A2(a; 0).
b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: .
Ta cần chứng minh: x2 ≥ a2 thì yêu cầu của bài toán được giải quyết.
Giả sử: x2 ≥ a2 (chia cả 2 vế cho a2).
Vì nên (do )
Do đó: luôn đúng.
Suy ra x2 ≥ a2.
+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≤ − a.
+) Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x2 ≥ a2 nên x ≥ a.
c) Gọi điểm M1(x1; y1) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x1 < 0, M2(x2; y2) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x2 > 0.
Theo câu b ta có: x1 ≤ − a và x2 ≥ a nên |x1| + |x2| ≥ a + a = 2a.
Do x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 − x1 = |x2| + |x1| ≥ a + a = 2a.
Ta có: M1M2 = ; A1A2 =
Lại có: (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≥ (|x2| + |x1|)2 + 0 ≥ (2a)2.
Nên (M1M2)2 ≥ (A1A2)2
Suy ra M1M2 ≥ A1A2.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M1 trùng A1 và M2 trùng A2.
Vậy để M1M2 nhỏ nhất thì M1 trùng A1 và M2 trùng A2.
Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác: