Cho hệ 2x+y>2 (1) và x+1/2y<1 (2). Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là tập nghiệm

Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+y>2\left(1\right)\\ x+\frac{1}{2}y<1\left(2\right)\end{array}\right.$ . Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + y = 2 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 2, không thoả mãn bất phương trình 2x + y > 2. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O và không kể đường thẳng d₁ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{1}{2}y=1$  đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{1}{2}.0=0<1$ , thoả mãn bất phương trình $x+\frac{1}{2}y<1$ . Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O và không kể đường thẳng d₂ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có d₁ trùng d₂ mà miền nghiệm của (1) được chia bởi d₁ và nửa mặt phẳng không chứa O(0; 0) (không kể d₁) ; miền nghiệm của (2) được chia bởi d₂ và nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) (không kể d₂). Vậy $S_1\cap S_2=\varnothing$ .