Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên

Câu hỏi:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là:

A. \(\frac{{13}}{{68}}\);

B. \(\frac{{55}}{{68}}\);

C. \(\frac{{68}}{{81}}\);

D. \(\frac{{13}}{{81}}\).

Trả lời:

Đáp án đúng là: C

Số có 4 chữ số có dạng: \(\overline {abcd} \) (a ≠ 0)

Công đoạn 1, Chọn số a có 9 cách chọn (vì a có thể chọn ngẫu nhiên 1 trong 9 số từ 1 đến 9).

Công đoạn 2, chọn số b có 9 cách chọn (vì b ≠ a mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng b không được chọn lại số mà a đã chọn nên b còn 9 số để chọn).

Công đoạn 3, chọn số c có 8 cách chọn (vì c ≠ a, c ≠ b mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng c không được chọn lại số mà a và b đã chọn nên c còn 8 số để chọn).

Công đoạn 4, chọn số d có 7 cách chọn (vì d ≠ a, d ≠ b, d ≠ c mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng d không được chọn lại số mà a, b và c đã chọn nên d còn 7 số để chọn).

Số phần tử của không gian mẫu: n(S) = 9.9.8.7 = 4536.

Gọi A: “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500” ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1, a > 2

Chọn a: có 7 cách chọn (vì a có thể chọn ngẫu nhiên 1 trong 7 số từ 3 đến 9).

Chọn b: có 9 cách chọn (vì b ≠ a mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng b không được chọn lại số mà a đã chọn nên b còn 9 số để chọn).

Chọn c: có 8 cách chọn (vì c ≠ a, c ≠ b mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng c không được chọn lại số mà a và b đã chọn nên c còn 8 số để chọn).

Chọn d: có 7 cách chọn (vì d ≠ a, d ≠ b, d ≠ c mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng d không được chọn lại số mà a, b và c đã chọn nên d còn 7 số để chọn).

Vậy trường hợp này có: 7.9.8.7 = 3528 (số).

Trường hợp 2, a = 2 và b > 5.

Chọn a: có 1 cách chọn (vì a = 2).

Chọn b: có 4 cách chọn (vì b có thể chọn 1 trong 4 số từ 6 đến 9).

Chọn c: có 8 cách chọn (vì c ≠ a, c ≠ b mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng c không được chọn lại số mà a và b đã chọn nên c còn 8 số để chọn).

Chọn d: có 7 cách chọn (vì d ≠ a, d ≠ b, d ≠ c mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng d không được chọn lại số mà a, b và c đã chọn nên d còn 7 số để chọn).

Vậy trường hợp này có: 1.4.8.7 = 224 (số).

Trường hợp 3, a = 2, b = 5 và c > 0

Chọn a: có 1 cách chọn (vì a = 2).

Chọn b: có 1 cách chọn (vì b = 5).

Chọn c: có 7 cách chọn (vì c ≠ a, c ≠ b mà c > 0 nên c có thể chọn một trong các số từ 1 đến 9 có 9 số nhưng c không được chọn lại số mà a và b đã chọn nên c còn 7 số để chọn).

Chọn d: có 7 cách chọn (vì d ≠ a, d ≠ b, d ≠ c mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng d không được chọn lại số mà a, b và c đã chọn nên d còn 7 số để chọn).

Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7 = 49 (số).

Trường hợp 4, a = 2; b = 5; c = 0; d > 0

Chọn a: có 1 cách chọn (vì a = 2).

Chọn b: có 1 cách chọn (vì b = 5).

Chọn c: có 1 cách chọn (vì c = 0).

Chọn d: có 7 cách chọn (vì d ≠ a, d ≠ b, d ≠ c mà từ 0 đến 9 có 10 số nhưng d không được chọn lại số mà a, b và c đã chọn nên d còn 7 số để chọn).

Vậy trường hợp này có: 1.1.1.7 = 7 (số).

Như vậy số phần tử của biến cố A là n(A) = 3528 + 224 + 49 + 7 = 3808.

Suy ra xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}} = \frac{{3808}}{{4536}} = \frac{{68}}{{81}}\).

Em nghĩ bài toán này nếu giải theo kiểu phần bù thì sẽ ngắn hơn nhiều ạ.