Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2 Kết nối tri thức

---

Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay nhất, chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2 Kết nối tri thức

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 2

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c)

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số (x₀; y₀)được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức ax₀ + by₀ ≤ cđúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ:

5x + 2y < 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

5x + 2y – 3z > 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ về nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:

Vì 5.(–1) + 2(–2) = –9 < 4 nên cặp số (–1; –2) là nghiệm của bất phương trình.

Vì 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Vì 5.(–1) + 2.2 = –1 < 4 nên cặp số (–1;2) là nghiệm của bất phương trình.

Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (–1; –2); (0; 0); (–1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by > c;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax + by < c;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by = c.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c:

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm M₀(x₀; y₀) không thuộc d.

+ Tính ax₀ + by₀ và so sánh với c.

+ Nếu ax₀ + by₀ < c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ax₀ + by₀ > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M₀ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 5x – 7y ≤ 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 5x – 7y = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm M₀(0; 1) không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức 5x – 7y ta được 5.0 – 7.1 = –7 < 0 là mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M₀ (miền không bị gạch)

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ:

$\left(\begin{array}{c}x+2y<9\\ y-2x>9\end{array}\right)$ là một hệ bất phương trình hai ẩn gồm 2 bất phương trình x + 2y < 9 và y – 2x > 9.

$\left(\begin{array}{c}{x}^2+y^2<5\\ x-y>4\end{array}\right)$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi x² + y² < 5 là bất phương trình bậc hai 2 ẩn.

- Cho hệ bất phương trình hai ẩn $\left(\begin{array}{c}x+y>9\\ x-y<9\end{array}\right)$.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 9 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 9. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}\right)$:

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

- Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = ax + by, với (x; y) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác A₁A₂...A_n, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 100\\ 2x+y\le 120\end{array}\right)$ và F(x; y) = 3,5x + 2y. Tìm giá trị lớn nhất của F(x; y).

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Vì 0 + 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác

F(O) = 0; F(A) = 200; F(B) = 230; F(C) = 210.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được ở Bước 2, kết luận giá trị lớn nhất của F(x; y) là 230.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 2

Bài 1. Cho hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}x+2y<0\\ x-4y>-6\end{array}\right)$. Hỏi đây có phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Khi cho y = 0, x có thể nhận các giá trị nguyên nào?

Hướng dẫn giải

$\left(\begin{array}{c}x+2y<0\\ x-4y>-6\end{array}\right)$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi vì có 2 bất phương trình x + 2y < 0 và x – 4y > –6 là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Khi y = 0, hệ trở thành: $\left(\begin{array}{c}x<0\\ x>-6\end{array}\right)$ ⇔ –6 < x < 0

Vậy x có thể nhận các giá trị nguyên là: {–5; –4; –3; –2; –1}.

Bài 2. Bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Nếu có biểu diễn miền nghiệm của nó trên trục tọa độ Oxy: ?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình x + y ≥ 100 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy điểm O(0;0) thay vào bất phương trình ta có: 0 + 0 ≥ 100 là một mệnh đề sai.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm biểu diễn trên trục tọa độ Oxy:

Bài 3. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\left(\begin{array}{c}x<0\\ y>0\end{array}\right)$

b) $\left(\begin{array}{c}{x}^2<0\\ y>0\end{array}\right)$

c) 2x + y > 0

d) $\left(\begin{array}{c}x-y<0\\ x+y>{10}^{10}\end{array}\right)$

Hướng dẫn giải

- Hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}x<0\\ y>0\end{array}\right)$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có 2 bất phương trình x < 0 và y > 0 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}{x}^2<0\\ y>0\end{array}\right)$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x² < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- 2x + y > 0 không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chỉ có một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}x-y<0\\ x+y>{10}^{10}\end{array}\right)$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có 2 bất phương trình x – y < 0 và x + y > 10¹⁰ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy có hệ $\left(\begin{array}{c}x<0\\ y>0\end{array}\right)$ và $\left(\begin{array}{c}x-y<0\\ x+y>{10}^{10}\end{array}\right)$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 4. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 4x + y ≤ 15.

a) Chỉ ra 2 nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với x = 0 thì có bao nhiêu giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (0; 0)

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 0 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn (x; y) = (0; 1)

Thay x = 0 và y = 1 vào bất phương trình đã cho ta được 4.0 + 1 ≤ 15 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 1) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy hai cặp nghiệm của bất phương trình: (x; y) = (0; 0), (0; 1).

b) Với x = 0 thì bất phương trình trở thành: và có vô số giá trị của y thỏa mãn bất phương trình.

Bài 5. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x + y < 20. Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình trên?

(x; y) = (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7), (11; 12).

Hướng dẫn giải

Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: 2 + 5 = 7 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (2; 5) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: 4 + 8 = 12 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (4; 8) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (5; 6) vào bất phương trình ta có: 5 + 6 = 11 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (5;6) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 7) vào bất phương trình ta có: 4 + 7 = 11 < 20 (luôn đúng). Do đó cặp số (4;7) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 11 + 12 = 23 < 20 (sai). Do đó cặp số (11;12) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta có cặp nghiệm thỏa mãn là:

(x; y) = (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7).

Bài 6.

Cho hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 120\\ 2x+y\le 180\end{array}\right)$

a) Tìm 2 nghiệm của hệ trên.

b) Cho F(x; y) = 2x + 2y. Tìm giá trị lớn nhất của F(x; y).

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (1; 1).

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 120 ta được 1 + 1 ≤ 120 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 120.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình 2x + y ≤ 180 ta được 2. 1 + 1 ≤ 180 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 180.

Vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 120\\ 2x+y\le 180\end{array}\right)$.

Tương tự ta chọn được (x; y) = (2; 2) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đã cho. Do đó (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left(\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 120\\ 2x+y\le 180\end{array}\right)$.

Vậy 2 nghiệm của hệ trên là (1; 1) và (2; 2).

b)

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 120.

+ Vì 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 180:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 180.

+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 180 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 180.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 180 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh đậm nhất chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC với:

O(0;0), A(0;120), B(60;60), C(90;0).

Ta có: F(O) = 0; F(A) = 240; F(B) = 240; F(C) = 180.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) là 240 khi (x; y) = (60; 60) hoặc (0; 120).

Bài 7. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x + 5y < 7

b) 2x² + y > 8

c) 3y² < 4

d) 4x – 5 < 3y

e) 4x + 5y – 6t < 3

Hướng dẫn giải

Các bất phương trình là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Ta có: 2x + 5y < 7 có dạng ax + by < c với a = 2, b = 5 và c = 7. Do đó a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: 2x² + y > 8 là bất phương trình bậc hai nên b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có: y² < 4 là bất phương trình bậc hai nên c) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có 4x – 5 < 3y ⇔ 4x – 3y < 5 có dạng ax + by < c với a = 4, b = – 3 và c = 5. Do đó d) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có 4x + 5y – 6t < 3 là bất phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, t. Do đó e) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy 2x + 5y < 7; 4x – 5 < 3y là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Học tốt Toán 10 Chương 2

Các bài học để học tốt Chương 2 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 2