Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sinA và diện tích S
Câu hỏi:
Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sinA và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC không?
Trả lời:
sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:
Ta có: cosA=b2+c2−a22bc (định lí cos)
Mà: cos2A + sin2A = 1
Û sin2A = 1 – cos2A
Þ sinA=±√1−cos2A
Do nên sin A > 0 hay
Ta có:sinA=√1−(b2+c2−a22bc)2=√1−(b2+c2−a2)24b2c2
=√4b2c2−(b2+c2−a2)24b2c2=√4b2c2−(b2+c2−a2)22bc
Khi đó diện tích tam giác ABC là:
SABC=12bc . sinA=12bc . √4b2c2−(b2+c2−a2)22bc.
=14√4b2c2−(b2+c2−a2)2
=14√[a2−(b−c)2][(b+c)2−a2]=14√(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(b+c+a)
Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.