Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -3), B(5; 2).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -3), B(5; 2). Tìm điểm M thuộc tia Oy để góc \(\widehat {AMB} = {90^0}.\)

A. \(M\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\);

B. \(M\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\);

C. \(M\left( {0;\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\);

D. \(M\left( {0;\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là D

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1;m + 3} \right),\overrightarrow {BM} \left( { - 5;m - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) + \left( {m + 3} \right).\left( {m - 2} \right) = {m^2} + m - 1.\)

Để \(\widehat {AMB} = {90^0}\) thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Ta thấy \(m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (thỏa mãn) và \(m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) (không thỏa mãn)

Vậy \(M\left( {0;\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\).