Viết phương trình đường thẳng hypebol (H), biết (H) đi qua điểm M(3căn bậc hai 2; −4) và có 1 tiêu điểm là F2(5; 0)

Viết phương trình đường thẳng hypebol (H), biết (H) đi qua điểm M(3$\sqrt{2}$; −4) và có 1 tiêu điểm là F₂(5; 0)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ trong đó a, b > 0

Vì (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có : c = 5 ⇒ a² + b² = c² = 25

 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm M(3$\sqrt{2}$; −4) nên ta có: $\frac{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}{a^2}-\frac{4^2}{b^2}=1$ ⇔ $\frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$         (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t . Thay vào (1) ta được:$\frac{18}{25-t}-\frac{16}{t}=1$ (t ≠ 25)

                                                                         ⇔ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

                                                                         ⇔ t² + 9t – 400 = 0 ⇒ $\left[\begin{array}{l}t=16\\ t=-25\end{array}\right.$

Với điều kiện t > 0 thì t = - 25 không thoả mãn

Với t = 16 thì b² = 16 và a² = 25 – 16 = 9

Vậy phương trình đường thẳng hypebol (H) là: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.