Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1Cn+2Cn=55 , hệ số của x^5 trong khai triển của biểu thức

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+C_n^2=55$, hệ số của x⁵ trong khai triển của biểu thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$ bằng

A. 8064;

B. 3360;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $C_n^1+C_n^2=55$

$\iff \frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=55$ 

$\iff \frac{n(n-1)\mathrm{...1}}{(n-1)\mathrm{...1}}+\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2(n-2)\mathrm{...1}}=55$ 

$\iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=55$

$\Rightarrow$n² + n – 110 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-11\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 10 thoả mãn bài toán.

Nhị thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a =x³, b = $\frac{2}{x^2}$  vào trong công thức ta có

$C_{10}^k$(x³)^{10 – k}${\left(\frac{2}{x^2}\right)}^k$ = 2^k$C_{10}^k\frac{x^{30-3k}}{x^{2k}}$ = (2)^k$C_{10}^k$(x)^{30 – 5k}

Số hạng cần tìm hệ số chứa x⁵  nên ta có 30 – 5k = 5

Vậy k = 5 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng chứa x⁵ trong khai triển là: (2)⁵$C_{10}^2$ = 8064.