Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: x + 4y – 3 = 0 và ∆₂: x – 4y – 3 = 0;

b) ∆₁: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆₂: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - 4y - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) cộng vế theo vế với (2) ta được: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3.

Thay x = 3 vào (1) ta được: 3 + 4y – 3 = 0 ⇔ 4y = 0 ⇔ y = 0.

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 0).

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại điểm M(3; 0).

b) Đường thẳng ∆₁: x + 2y –\(\sqrt 5 \)= 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {1;\,\,2} \right)\).

Đường thẳng ∆₂: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0 có vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {2;\,\,4} \right)\).

Ta thấy: \({\overrightarrow n _2} = 2{\overrightarrow n _1}\) nên hai vectơ này cùng phương.

Do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, ta lại có điểm A(\(\sqrt 5 \); 0) thuộc đường thẳng ∆₁ nhưng không thuộc đường thẳng ∆₂ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.