Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.

Giải Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABD có: AB = AD = BD = a nên ΔABD đều

$\text{⇒}\widehat{\mathrm{BAD}}=60°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\widehat{\mathrm{BAD}}=120°$

Xét tam giác ABC có: $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2.\mathrm{AB}.\mathrm{BC}.\cos \widehat{\mathrm{BAC}}}=a\sqrt{3}$

AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ AC ⇒ ΔAA′C vuông tại A.

$\Rightarrow {\mathrm{AA}}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2-{\mathrm{AC}}^2}=a$

Vậy độ dài đoạn thẳng AA′ là: ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a$

b) Ta có:

• $S_{\mathrm{ABCD}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\sin \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ ;

• $S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\mathrm{AB}.\mathrm{AA}\text{'}=a^2$ ;

• $S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\mathrm{AD}.{\mathrm{AA}}^{\text{'}}=a^2$.

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

$S=S_{\mathrm{ABCD}}+S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ABB}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{ADD}}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{BCC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+S_{{\mathrm{CDD}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left(4+\sqrt{3}\right)a^2$.

Vậy tổng diện tích các mặt của hình hộp là $\left(4+\sqrt{3}\right)a^2$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc hay, chi tiết khác:

• Hoạt động khởi động trang 65 Toán 11 Tập 2: Trong thực tế, người ta thường nói mặt ngang và mặt đứng của các bậc thang vuông góc với nhau ....

• Hoạt động khám phá 1 trang 65 Toán 11 Tập 2: a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm (Hình 1) bằng cách sử dụng góc giữa hai cây ....

• Hoạt động khám phá 2 trang 66 Toán 11 Tập 2: Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường trong phòng ....

• Hoạt động khám phá 3 trang 67 Toán 11 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). Gọi H và K ....

• Thực hành 1 trang 67 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng ....

• Vận dụng 1 trang 67 Toán 11 Tập 2: Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10 ....

• Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến c ....

• Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q) ....

• Thực hành 2 trang 69 Toán 11 Tập 2: Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O ....

• Vận dụng 2 trang 69 Toán 11 Tập 2: Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn ....

• Hoạt động khám phá 6 trang 69 Toán 11 Tập 2: a) Cho hình lăng trụ ABCDE.A′B′C′D′E′ có cạnh bên AA′ vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18a) ....

• Thực hành 3 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a ....

• Vận dụng 3 trang 71 Toán 11 Tập 2: Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm ....

• Hoạt động khám phá 7 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau ....

• Thực hành 4 trang 72 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và AB = a, SA = 2a. Tính SO theo a ....

• Vận dụng 4 trang 72 Toán 11 Tập 2: Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136m và cạnh đáy ....

• Hoạt động khám phá 8 trang 72 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.A₁A₂...A₆. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại A′₁A′₂...A′₆ ....

• Thực hành 5 trang 73 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy lớn bằng a, cạnh đáy nhỏ ....

• Vận dụng 5 trang 73 Toán 11 Tập 2: Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m ....

• Bài 1 trang 73 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ....

• Bài 2 trang 73 Toán 11 Tập 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài ....

• Bài 3 trang 73 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA′ = 2a, AD = 2a, AB = BC = a ....

• Bài 5 trang 74 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng a ....

• Bài 6 trang 74 Toán 11 Tập 2: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21,6 m ....