Bài 2.4 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Trong các dãy số (u) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n – 1;

b) $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ ;

c) u_n = sin n;

d) u_n = (– 1)^{n – 1}n².

Lời giải:

a) Ta có: u_n = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có: $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{n + 2 - 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2}$ , với mọi n ∈ ℕ^*.

Vì $0 < \frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{3}$ , ∀ n ∈ ℕ^* nên $- \frac{1}{3} \leq - \frac{1}{n + 2} < 0$ ∀ n ∈ ℕ^*.

Suy ra $1 - \frac{1}{3} \leq 1 - \frac{1}{n + 2} < 1$ hay $\frac{2}{3} \leq u_{n} < 1$ ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, – 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

d) u_n = (– 1)^{n – 1}n²

Ta có: (– 1)^{n – 1} = 1 với mọi n ∈ ℕ^* và n lẻ.

(– 1)^{n – 1} = – 1 với mọi n ∈ ℕ^* và n chẵn.

n² ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, – 1 . n² ≤ (– 1)^{n – 1}n² ≤ 1 . n² hay – n² ≤ u_n ≤ n² với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác: