Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 Kết nối tri thức

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 107.

Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$.

Lời giải:

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}}{n+1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$.

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂, ..., u_n, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

b) Tìm S = $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó $u_1=\frac{1}{2}$.

Cứ tiếp tục như thế, ta được: $u_2=\frac{1}{2}{u}_1,u_3=\frac{1}{2}{u}_2$,..., $u_n=\frac{1}{2}{u}_{n-1}$, ...

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Do đó, tổng của n số hạng đầu là

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n = $\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}$$=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

b) Ta có: S = $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ = $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }1-\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1-0=1$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 11 trang 105
• Giải Toán 11 trang 106
• Giải Toán 11 trang 108
• Giải Toán 11 trang 109