Giải Toán 12 trang 43 Tập 1 Cánh diều

---

Với Giải Toán 12 trang 43 Tập 1 trong Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 43.

Giải Toán 12 trang 43 Tập 1 Cánh diều

Bài 3 trang 43 Toán 12 Tập 1: Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 1}$?

A. 

B.

C.

D.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = -1,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - 1  nên đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1-x}{x + 1}$.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$y = - $\infty$,$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = +$\infty$   nên đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1-x}{x + 1}$.

Vậy đường cong trong đáp án B là đồ thị của hàm số đã cho.

Bài 4 trang 43 Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số:

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số trong Hình 30 cắt trục tung tại điểm (0; – 2) và có tiệm cận đứng là đường thẳng x = – 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = – x – 1.

Thay tọa độ điểm (0; – 2) vào các hàm số ở các đáp án ta loại được đáp án B và D.

Ta thấy đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{-x - 1}$ và đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$.

Vậy đường cong trong Hình 30 là đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{-x - 1}$.

Bài 5 trang 43 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 3x² + 1;

b) y = – x³ + 3x² – 1;

c) y = (x – 2)³ + 4;

d) y = – x³ + 3x² – 3x + 2;

e) $y = \frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x + 1;$

g) y = – x³ – 3x.

Lời giải:

a) y = 2x³ – 3x² + 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - $\infty$.

● y' = 6x² – 6x;

y' = 0 ⇔ 6x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 1).  

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = 0.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình 2x³ – 3x² + 1 = 0 ta được x = $-\frac{1}{2}$ hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$, (1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0), (0; 1), $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$, (– 1; – 4) và $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² + 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

b) y = – x³ + 3x² – 1

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² + 6x;

y' = 0 ⇔ – 3x² + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 2); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = – 1.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x³ + 3x² – 1 = 0, ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 3), (0; – 1), (1; 1), (2; 3) và (3; – 1).  

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 1 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

c) Ta có y = (x – 2)³ + 4 = x³ – 6x² + 12x – 8 + 4 = x³ – 6x² + 12x – 4.

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = -$\infty$ .

● y' = 3x² – 12x + 12 = 3(x – 2)²;

y' ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

y' = 0 khi x = 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 4).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình x³ – 6x² + 12x – 4 = 0, ta thấy phương trình có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 4), (1; 3), (2; 4) và (3; 5).

Vậy đồ thị hàm số y = (x – 2)³ + 4 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(2; 4).

d) y = – x³ + 3x² – 3x + 2

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = – ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² + 6x – 3 = – 3(x – 1)² ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y' = 0 khi x = 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.  

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình – x³ + 3x² – 3x + 2 = 0 ta được x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).  

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (2; 0) và (1; 1).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ + 3x² – 3x + 2 được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).

e) $y = \frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

● y' = x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị.  

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$ = 0 ta thấy có 1 nghiệm nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1), $\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số y = $\frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x +1$ được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I$\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$.

g) y = – x³ – 3x

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên:

● Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

● y' = – 3x² – 3 = – 3(x² + 1) < 0 với mọi x ∈ ℝ;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số không có cực trị. 

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (– 1; 4) và (1; – 4).

Vậy đồ thị hàm số y = – x³ – 3x được cho như hình vẽ trên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm O(0; 0).

Bài 6 trang 43 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) $y =\frac{x - 1}{x + 1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = + ∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = 1,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = 1. Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{2}{{(x + 1)}^2}$ > 0, với mọi x ≠ – 1.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y =\frac{x - 1}{x + 1}$ được cho ở hình trên.

b) $y =\frac{-2x}{x + 1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = - ∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - 2,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - 2. Do đó, đường thẳng y = – 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-2}{{(x + 1 )}^2}$ < 0, với mọi x ≠ – 1 .

● Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 3), (– 2; – 4), (0; 0) và (1; – 1).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y =\frac{-2x}{x + 1}$ được cho ở hình trên.

c) $y =\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$

1) Tập xác định: ℝ \ {1}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x - 2 + \frac{4}{x - 1}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = - ∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (x - 2)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{4}{x - 1}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (x - 2)]= $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{4}{x - 1}$ = 0. Do đó, đường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{x^2 - 2x - 3}{{(x - 1)}^2}$;

y' = 0 ⇔ x² – 2x – 3 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.   

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 1) và (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y_CĐ = – 5; đạt cực tiểu tại x = 3, y_CT = 3.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 6).

● Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 6), (– 1; – 5), (0; – 6), (2; 4), (3; 3) và (5; 4).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y =\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}$ được cho ở hình trên.

d) $y = \frac{-x^2 + 2x -4}{x - 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = -x - \frac{4}{x - 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = + ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-4}{x - 2}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-4}{x - 2}$= 0. Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-x^2 + 4x}{{(x - 2)}^2}$;

y' = 0 ⇔ – x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.  

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (0; 2) và (2; 4); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (4; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 4, y_CĐ = – 6; đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = 2.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).

● Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 3), (0; 2), (1; 3), (3; – 7), (4; – 6) và (6; – 7).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{-x^2 + 2x -4}{x - 2}$ được cho ở hình trên.

e) $y = \frac{2x^2 + 3x -5}{x + 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {– 2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = 2x - 1 - \frac{3}{x + 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = + ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = - ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = + ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = - ∞. Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (2x - 1)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-3}{x + 2}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (2x - 1)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{-3}{x + 2}$= 0. Do đó, đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} =\frac{2x^2 +8x + 11}{{(x + 2)}^2}= \frac{2{(x + 2)}^2+3}{{(x + 2)}^2}= 2 + \frac{3}{{(x + 2)}^2}$ > 0 với mọi x ≠ – 2;

● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (– 2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0 ; -\frac{5}{2}\right)$.

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{2x^2 + 3x -5}{x + 2} = 0$ ta được x = 1 và $x = -\frac{5}{2}$.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và $\left(-\frac{5}{2}; 0\right)$.

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 4), $\left(-\frac{5}{2}; 0\right)$, (– 1; – 6), $\left(0 ; -\frac{5}{2}\right)$ và (1; 0).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 2; – 5) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 + 3x -5}{x + 2}$ được cho ở hình trên.

g) $y = \frac{x^2 - 2x -3}{-x + 2}$

1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên

● Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = -x + \frac{3}{x - 2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$y = - ∞,$\underset{x\to -\infty }{\lim }$y = + ∞.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = - ∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$y = + ∞. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{3}{x - 2}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$[y - (-x)] = $\underset{x\to -\infty }{\lim }$$\frac{3}{x - 2}$= 0. Do đó, đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

● $y\text{'} = \frac{-x^2 + 4x - 7}{{(-x + 2)}^2}=\frac{-{(x - 2)}^2 - 3}{{(-x + 2)}^2}$ < 0 với mọi x ≠ 2.

● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

● Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0; -\frac{3}{2}\right)$.

● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Giải phương trình $\frac{x^2 - 2x - 3}{-x + 2}= 0$ ta được x = – 1 và x = 3.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (– 1; 0) và (3; 0).

● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 0), $\left(0; -\frac{3}{2}\right)$, (1; – 4), (3; 0) và (5; – 4).

● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x -3}{-x + 2}$ được cho ở hình trên.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay khác:

• Giải Toán 12 trang 28
• Giải Toán 12 trang 42
• Giải Toán 12 trang 44