Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Giải Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$ ;

b) $\vec{D B^{'}} + \vec{D^{'} D} + \vec{B D^{'}} = \vec{B B^{'}}$ ;

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\vec{D D^{'}} = \vec{A A^{'}}$ ; $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{A D} (= \vec{B C})$ .

Do đó $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\vec{D B^{'}} + \vec{D^{'} D} + \vec{B D^{'}} = \vec{B B^{'}}$

Có $\vec{D B^{'}} + \vec{D^{'} D} + \vec{B D^{'}}$

$= \vec{D B} + \vec{B B^{'}} + \vec{D^{'} B} + \vec{B D} + \vec{B D^{'}}$

$= (\vec{D B} + \vec{B D}) + \vec{B B^{'}} + (\vec{D^{'} B} + \vec{B D^{'}})$

$= \vec{B B'}$

Vì $\vec{D B} + \vec{B D} = \vec{0}; \vec{D^{'} B} + \vec{B D^{'}} = \vec{0}$ .

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\vec{A B^{'}}$ và $\vec{C^{'} D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\vec{A B^{'}} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$ .

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\vec{B^{'} C}$ và $\vec{D A^{'}}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\vec{B^{'} C} + \vec{D A^{'}} = \vec{0}$ .

$\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D}$

$= \vec{A B^{'}} + \vec{B^{'} C} + (\vec{D B} + \vec{B A^{'}}) + \vec{C^{'} D}$

$= \vec{A B^{'}} + \vec{B^{'} C} + \vec{D A^{'}} + \vec{C^{'} D}$

$= (\vec{A B^{'}} + \vec{C^{'} D}) + (\vec{B^{'} C} + \vec{D A^{'}}) = \vec{0}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian hay, chi tiết khác: