Hoạt động khám phá 1 trang 21 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

Giải Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 1 trang 21 Toán 12 Tập 2: Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

a) Tính S₁ và so sánh với $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

b) Tính S₂ và so sánh với $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$.

c) So sánh $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ với S₁ + S₂.

Lời giải:

a) Gọi A(3; 0), B(0; 6), C(5; 0), E(5; −4).

Ta có S₁ chính là diện tích của tam giác vuông OAB với OA = 3, OB = 6.

Do đó $S_1=S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\mathrm{.3.6}=9$.

Ta có $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(6-2x\right)dx$ $={\left.\left(6x-x^2\right)\right|}_0^3$= 9.

Vậy $S_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

b) Ta có S₂ chính là diện tích của tam giác vuông ACE với AC = 2, CE = 4.

Do đó $S_2=S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}AC.CE=\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4$.

Ta có $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left(6-2x\right)dx$$={\left.\left(6x-x^2\right)\right|}_3^5$= 5 – 9 = −4.

Do đó $S_2=-\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$.

c) Ta có $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|6-2x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|6-2x\right|dx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left|6-2x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(6-2x\right)dx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left(2x-6\right)dx$$={\left.{\left.\left(6x-x^2\right)\right|}_0^3+\left(x^2-6x\right)\right|}_3^5$

= 9 − 5 + 9 = 13.

Có S₁ + S₂ = 9 + 4 = 13 = $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

• Hoạt động khởi động trang 21 Toán 12 Tập 2: Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là $V=\frac{4\pi R^3}{3}$. Làm thế nào để tìm ra công thức đó? ....

• Thực hành 1 trang 22 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 ....

• Thực hành 2 trang 22 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π ....

• Hoạt động khám phá 2 trang 23 Toán 12 Tập 2: Cho hai hàm số y = 4x – x² và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4 ....

• Thực hành 3 trang 24 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4 ....

• Thực hành 4 trang 24 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x − x², y = x² – x và hai đường thẳng x = 0, x = 2 ....

• Vận dụng 1 trang 24 Toán 12 Tập 2: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7 ....

• Hoạt động khám phá 3 trang 24 Toán 12 Tập 2: Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA  (ABCD) ....

• Thực hành 5 trang 25 Toán 12 Tập 2: Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao x (dm) (0 ≤ x ≤ 4) ....

• Hoạt động khám phá 4 trang 25 Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$, trục hoành và đường thẳng x = 4 ....

• Thực hành 6 trang 26 Toán 12 Tập 2: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=1+\frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 ....

• Vận dụng 2 trang 27 Toán 12 Tập 2: Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16) ....

• Bài 1 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ....

• Bài 2 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x³ – x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 ....

• Bài 3 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}$, y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4 ....

• Bài 4 trang 27 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x³ + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2 ....

• Bài 5 trang 27 Toán 12 Tập 2: Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−2 ≤ x ≤ 2) ....

• Bài 6 trang 27 Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4-x}$ (x ≤ 4), trục tung và trục hoành (Hình 18) ....

• Bài 7 trang 27 Toán 12 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19) ....

• Bài 8 trang 27 Toán 12 Tập 2: Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h (Hình 20) ....