Giải Toán 12 trang 19 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Với Giải Toán 12 trang 19 Tập 1 trong Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 19.

Giải Toán 12 trang 19 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 1.10 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = −x² + 4x + 3;

b) y = x³ – 2x² + 1 trên [0; +∞);

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên (1; +∞);

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 4; y' = 0 ⇔ x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y\left(2\right)=7$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) Trên [0; +∞), ta có y' = 3x² – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{4}{3}$.

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{5}{27}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Trên (1; +∞), có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 $\iff x=1-\sqrt{2}$ (loại) hoặc $x=1+\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là D = [0; 2].

Có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$

Có y' = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=\sqrt{2}$.

Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x² + 3;

b) y = xe^−x;

c) y = xlnx;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 4x³ – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\min }y=y\left(-1\right)=y\left(1\right)=2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = e^−x − xe^−x; y' = 0 ⇔ e^−x − xe^−x = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y\left(1\right)=\frac{1}{e}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là (0; +∞).

Có y' = lnx + 1; y' = 0 ⇔ lnx = −1 $\iff x=\frac{1}{e}$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là [1; 3].

Có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$;

$y^{\text{'}}=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0\iff \sqrt{3-x}=\sqrt{x-1}\iff x=2$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left[1;3\right]}{\min }y=y\left(1\right)=y\left(3\right)=\sqrt{2};\underset{\left[1;3\right]}{\max }y=y\left(2\right)=2$.

Bài 1.12 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 6x + 3 trên đoạn [−1; 2];

b) y = x⁴ – 3x² + 2 trên đoạn [0; 3];

c) y = x – sin2x trên đoạn [0; π];

d) y = (x² – x)e^x trên đoạn [0; 1].

Lời giải:

a) Ta có y' = 6x² – 6; y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.

Có y(−1) = 7; y (1) = −1; y(2) = 7.

Do đó $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=y\left(2\right)=7;\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y=y\left(1\right)=-1$

b) Ta có y' = 4x³ – 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$(loại) hoặc  $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ vì x ∈[0; 3].

Có y(0) = 2; $y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4}$; y(3) = 56.

Do đó $\underset{\left[0;3\right]}{\max }y=y\left(3\right)=56;\underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4}$.

c) Ta có y' = 1 – 2cos2x; y' = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{6}$hoặc $x=\frac{5\pi }{6}$ vì x ∈[0; π].

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; y(π) = π.

Do đó $\underset{\left[0;\pi \right]}{\max }y=y\left(\pi \right)=\pi ;\underset{\left[0;\pi \right]}{\min }y=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

d) Có y' = (2x – 1)e^x + (x² – x)e^x = (x² + x − 1)e^x;

y' = 0 ⇔ (x² + x − 1)e^x  = 0

⇔x² + x – 1 = 0

⇔ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(loại) hoặc $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) vì x ∈[0; 1].

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$; y(1) = 0.

Do đó $\underset{\left[0;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=y\left(1\right)=0;\underset{\left[0;1\right]}{\min }y=y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$.

Bài 1.13 trang 19 Toán 12 Tập 1: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 24 : 2 = 12 (cm)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 12).

Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 12 – x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là x(12 – x) = 12x – x² (cm²).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 12x – x² (0 < x < 12).

Có y' = 12 – 2x; y' = 0 ⇔ x = 6.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có diện tích lớn nhất hình chữ nhật là 36 cm² khi nó là hình vuông có cạnh bằng 6 cm.

Bài 1.14 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải:

Thể tích của chiếc hộp là V = x².h (cm³).

Vì diện tích bề mặt bằng 108 cm² nên ta có:

x² + 4xh = 108

⇔ $h=\frac{108-x^2}{4x}$ (điều kiện $0<x<\sqrt{108}$).

Khi đó thể tích chiếc hộp là $V=\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=-\frac{x^3}{4}+27x$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V=-\frac{x^3}{4}+27x\left(0<x<\sqrt{108}\right)$.

Có $V^{\text{'}}=-\frac{3}{4}{x}^2+27$; V' = 0$\iff -\frac{3}{4}{x}^2+27=0\iff x=6$(vì $0<x<\sqrt{108}$)

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích lớn nhất của chiếc hộp là 108 cm³ khi x = 6cm và h = 3cm.

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi r, h lần lượt là bán kính hình tròn đáy và chiều cao của hình trụ (r, h > 0).

Khi đó ta có V = πr²h = 1000 ⇔ $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là 2πr² (cm²).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt trên và mặt dưới là 1,2. 2πr² = 2,4πr² (nghìn đồng).

Diện tích mặt bên của bình là 2πrh (cm²).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt bên là 0,75. 2πrh = 1,5πrh (nghìn đồng).

Tổng chi phí là: 2,4πr² + 1,5πrh = $\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$, r > 0.

Có $y^{\text{'}}=\mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}$; $y^{\text{'}}=0\iff \mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}=0\iff r=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\approx \mathrm{4,6}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình nhỏ nhất khoảng 485,6 nghìn đồng khi r khoảng 4,6 cm và h khoảng 15 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay khác:

• Giải Toán 12 trang 15
• Giải Toán 12 trang 17
• Giải Toán 12 trang 18