Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

Giải Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác - Cánh diều

Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy ra BC = 5.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC)

Suy ra $\frac{DB}{BC - DB} = \frac{AB}{AC}$ hay $\frac{DB}{5 - DB} = \frac{3}{4}$

Do đó 4DB = 3(5 – DB)

4DB = 15 – 3DB

4DB + 3DB = 15

7DB = 15

$DB = \frac{15}{7}$

Khi đó $DC = BC - DB = 5 - \frac{15}{7} = \frac{20}{7}$

Vậy $BC = 5; DB = \frac{15}{7}; DC = \frac{20}{7} .$

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$\frac{DH}{BA} = \frac{CD}{CB}$ hay $\frac{DH}{3} = \frac{\frac{20}{7}}{5}$

Suy ra $DH = \frac{3 \cdot \frac{20}{7}}{5} = \frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là $DH = \frac{12}{7} .$

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có: $\frac{AH}{AC} = \frac{BD}{BC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Hay $\frac{AH}{4} = \frac{\frac{15}{7}}{5},$ suy ra $AH = \frac{4 \cdot \frac{15}{7}}{5} = \frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

Suy ra ${AD}^{2} = {(\frac{12}{7})}^{2} + {(\frac{12}{7})}^{2} = \frac{288}{49}$

Do đó $AD = \sqrt{\frac{288}{49}} = \sqrt{\frac{144 \cdot 2}{49}} = \sqrt{{(\frac{12 \sqrt{2}}{7})}^{2}} = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$

Vậy độ dài đường phân giác AD là $\frac{12 \sqrt{2}}{7} .$

Lời giải bài tập Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác hay, chi tiết khác: