Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều


Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác A). Chứng minh:

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 8 - Cánh diều

Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác A). Chứng minh:

a) CBM^=CAK^;

b) Tam giác BHN cân;

c) BC là đường trung trực của HN.

Lời giải:

Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Xét ∆ABC có các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H nên AK ⊥ BC và BM ⊥ AC.

Vì ∆AKC vuông tại K có KAC^+C^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Vì ∆BMC vuông tại M có CBM^+C^=90° (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra CBM^=CAK^.

b) Xét đường tròn (O) có CAN^,  CBN^ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN nên CAN^=CBN^ hay CAK^=KBN^.

CBM^=CAK^ (câu a) nên KBN^=CBM^ hay KBN^=KBH^.

Do đó BK là đường phân giác của góc HBN.

Xét ∆BHN có đường cao BK đồng thời là đường phân giác nên ∆BHN cân tại B.

c) Vì ∆BHN cân tại B (câu b) nên đường cao BK đồng thời là đường trung trực của HN.

Vậy BC đường trung trực của HN.

Lời giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 8 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác: