Bài tập về tính chất của cấp số nhân lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập về tính chất của cấp số nhân lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập về tính chất của cấp số nhân.

Bài tập về tính chất của cấp số nhân lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Cho (u_n) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q.

Theo tính chất của cấp số nhân ta có: u_n² = u_{n – 1} . u_{n + 1} với n ≥ 2.

Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: ac = b².

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Chứng minh: (ab + bc + ca)³ = abc(a + b + c)³.

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac = b².

Ta có: $abc{(a+b+c)}^3=b^3\cdot {(a+b+c)}^3$(do ac = b²)

$={\left(ab+b^2+bc\right)}^3={(ab+ac+bc)}^3$(đpcm).

Ví dụ 2. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Chứng minh: (a² + b²)(b² + c²) = (ab + bc)².

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left(a^2+b^2\right)\cdot \left(b^2+c^2\right)=a^2\cdot b^2+a^2\cdot c^2+b^4+b^2\cdot c^2$

$=a^2{b}^2+b^4+b^4+b^2{c}^2$ (vì ac = b² nên a²c² = b⁴).

 $=a^2{b}^2+2b^4+b^2{c}^2=a^2{b}^2+2ab\cdot bc+b^2{c}^2$$={(ab+bc)}^2$(đpcm).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. (a + b + c)(a + b – c) = a² + b² + c²;

B. (a + b + c)(a – b + c) = a² + b² + c²;

C. (a + b – c)(a – b + c) = a² + b² + c²;

D. (a + b + c)(a – b + c) = a² – b² + c².

Bài 2. Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. (b – c)² + (c – a)² + (d – b)² = (a – d)²;

B. (b – c)² + (c – a)² + (d – b)² = (a + d)²;

C. (b – c)² + (c – a)² + (d – b)² = (a – b)²;

D. (b – c)² + (c – a)² + (d – b)² = (a + b)².

Bài 3. Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a^2\cdot b^2\cdot c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=2(a^3+b^3+c^3)$ ;

B. $a^2\cdot b^2\cdot c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)$ ;

C. $a^2\cdot b^2\cdot c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$;

D. $a^2\cdot b^2\cdot c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+c^3\right)$ .

Bài 4. Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?

Bài 5. Cho (u_n) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k (m < k). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. u_{k – m} . u_{k + m} = u_k²;

B. u_{k – m} . u_k = (u_{k + m})²;

C. u_k . u_{k + m} = (u_{k – m})²;

D. u_{k – m} . u_{k + m} = (u_{k + 1})².

Bài 6. Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (a² + b²)(b² + c²) = (ab + bc)²;

B. (a² – b²)(b² + c²) = (ab + bc)²;

C. (a² – b²)(b² – c²) = (ab + bc)²;

D. (a² + b²)(b² + c²) = (ab – bc)².

Bài 7. Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn: $a+b+c=\frac{3\pi }{4}\text{.}$ Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?

A. tan a; tan b; tan c;

B. cos a; cos b; cos c;

C. sin a; sin b; sin c;

D, sin 2a; sin 2b; sin 2c.

Bài 8. Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q ≠ 0 và a ≠ 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $\frac{b^2}{a^2{b}^2}-\frac{b}{ab}=\frac{a^2{c}^2}{a^2{b}^2}-\frac{ac}{ab}$ ;

B. $\frac{b^4}{a^2{b}^2}-\frac{b^2}{ab}-\frac{ac}{ab}=\frac{a^2{c}^2}{a^2{b}^2}$ ;

C. $\frac{b^4}{a^2{b}^2}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2{c}^2}{a^2{b}^2}-\frac{ac}{ab}$ ;

D. $\frac{b^4}{a^2{b}^2}+\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2{c}^2}{a^4{b}^2}-\frac{ac}{ab}$

Bài 9. Cho bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chọn đáp án đúng.

A. ac + 2ad + bd = (b + c)²;

B. ac + 2ad + bd = (a + c)²;

C. ac + 2ad + bd = (a – c)²;

D. ac + 2ad + bd = (b – c)².

Bài 10. Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chọn đáp án đúng.

A. $\frac{c}{d\left(a+c\right)}=\frac{2}{b+d};$

B. $\frac{c}{d\left(a+c\right)}=\frac{1}{b+d};$

C. $\frac{c}{d\left(a+c\right)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{b+d};$

D. $\frac{c}{d\left(a+c\right)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{b+d}.$