Giải bài toán thực tế về cấp số nhân lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Giải bài toán thực tế về cấp số nhân lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải bài toán thực tế về cấp số nhân.

Giải bài toán thực tế về cấp số nhân lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Ở dạng bài này, các bài toán thường yêu cầu sử dụng cấp số nhân để trả lời các yêu cầu liên quan đến lãi suất ngân hàng, bài toán chăn nuôi, bài toán dân số, tiền lương, …

Ta sử dụng các kiến thức đã học về cấp số nhân để xử lý các yêu cầu của bài toán:

•Số hạng tổng quát: u_n = u_{n –1} . q = u₁ . q^{n – 1}.

•Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân: $S_n=\frac{u_1.\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7 314 ngày (khoảng 20 năm).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.

Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính u₅₃.

Từ giả thiết suy ra dãy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu là  $u_1=\frac{20}{2}=10$ và công bội q = 0,5.

Do đó  $u_{53}=10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{52}\approx \mathrm{2,22}\cdot {10}^{-15}$.

Ví dụ 2. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Hướng dẫn giải:

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{2}\text{ và }{u}_1=\frac{12288}{2}=6144$.

Khi đó, diện tích mặt trên cùng là  $u_{11}=u_1{q}^{10}=\frac{6144}{2^{10}}=6$ (m²)

Vậy diện tích mặt trên cùng 6 m².

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12 288m²). Diện tích mặt trên cùng là

A. 6 m²;

B. 8 m²;

C. 10 m²;

D. 12 m²_.

Bài 2. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?

A. 120;

B. 121;

C. 122;

D. 200.

Bài 3. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

A. 10⁸.(0,007)⁵ (đồng);

B. 10⁸.(1,007)⁵ (đồng);

C. 10⁸.(0,007)⁶ (đồng);

D. 10⁸.(1,007)⁶ (đồng).

Bài 4. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

A. 10 320 nghìn người;

B. 3 000 nghìn người;

C. 2 227 nghìn người;

D. 2 300  nghìn người.

Bài 5. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 10¹² tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

A. 1024.10¹² tế bào;

B. 256.10¹² tế bào;

C. 512.10¹² tế bào;

D. 512.10¹³ tế bào;

Bài 6. Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

A. 5;

B. 7;

C. 8;

D. 6.

Bài 7. Cho n đường tròn đồng tâm O. Biết rằng r₁ = 2; chu vi đường tròn (O; r₂) có gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r₁);...; chu vi đường tròn (O; r_n) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r_{n – 1}).Chu vi đường tròn (O; r_n) gấp 256 lần chu vi đường tròn (O; r₁). Hỏi r_{n – 1} là giá trị nào sau đây?

A. 256;

B. 128;

C. 64;

D. 512.

Bài 8. Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

A. Hòa vốn;

B. Thua 20 000 đồng;

C. Thắng 20 000 đồng;

D. Thua 40 000 đồng.

Bài 9. Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7 000 000 đồng một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

A. 53 296 000 đồng;

B. 53 297 000 đồng;

C. 53 298 000 đồng;

D. 53 290 000 đồng.

Bài 10. Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai,… cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).

A. 370 tỉ tấn;

B. 369 tỉ tấn;

C. 360 tỉ tấn;

D. 36 tỉ tấn.