3 dạng bài toán đếm số phương án cực hay - Toán lớp 11
3 dạng bài toán đếm số phương án cực hay
Với 3 dạng bài toán đếm số phương án cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đếm số phương án từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
- Cách giải bài toán đếm số Xem chi tiết
- Dạng 1.1:Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Xem chi tiết
- Trắc nghiệm đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Xem chi tiết
- Dạng 1.2:Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Xem chi tiết
- Trắc nghiệm đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Xem chi tiết
Cách giải bài toán đếm số phương án
B. Qui tắc cộng:
a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc cộng:
Nếu các tập A1, A2,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = |A1 |+|A2 |+⋯+|An |
c) Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng:
Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?
B. Qui tắc nhân:
a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc nhân:
Nếu các tập A1, A2,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
|A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An | = |A1 |.|A2 |…|An |
c) Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân:
Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H1, H2,..., Hn và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn Hi (i = 1, 2,..., n).
Chú ý: Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
♦ Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
♦ Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
♦ Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
♦ Đếm số phương án thực hiện hành động (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án.
♦ Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a - b.
Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:
Khi lập một số tự nhiên 
ta cần lưu ý:
* ai ∈ {0,1,2,…,9} và a1 ≠ 0.
* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn.
* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ.
* x chia hết cho 3 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 3.
* x chia hết cho 4 ⇔ 
chia hết cho 4.
* x chia hết cho 5 ⇔ an=0 hoặc an=5.
* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.
* x chia hết cho 8 ⇔ 
chia hết cho 8.
* x chia hết cho 9 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.
Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.
TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.
Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.
TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.
Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.
Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.
Đáp án và hướng dẫn giải
Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có 6.7 = 42 cách đi từ thành phố A đến C.
Bài 2: Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?
Đáp án và hướng dẫn giải
a) Theo quy tắc cộng có: 23 +17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.
b) Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp
Hành động 1: chọn 1 học sinh nữ trong số 23 học sinh nữ nên có 23 cách chọn
Hành động 2: chọn 1 học sinh nam có 17 cách chọn
Theo quy tắc nhân, có 23.17=391 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.
