Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải - Toán lớp 11

---

Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải

Với Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đếm số sử dụng Tổ hợp từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Định nghĩa : Cho tập hợp X có n phần tử (n≥1) và số nguyên k với 1≤k≤n. Mỗi tập con gồm k phần tử của X gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (gọi tắt là một tổ hợp chập k của X).

Công thức : Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là , tính bởi công thức:

Dấu hiệu chia hết cho một số.

+ Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị là: 0,2,4,6,8.

+ Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.

+ Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5 .

+ Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.

+ Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.

+ Một só chia hết cho 4 nếu hai chữ số tận cùng chia hết cho 4.

Chú ý :

- Ta quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng, như vậy

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều hơn k! lần số các tổ hợp chập k của n phần tử

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước ?

A.15220    B.252    C.126    D.120

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Đặt X = {1 ; 2; 3; …; 9}. Ta cần đếm có bao nhiêu số tự nhiên dạng abcde với a<b<c<d<e;a≠0 .

Ta thấy rằng ứng với mỗi tập con 5 phần tử của X thì tạo được đúng một số tự nhiên có dạng trên, ngược lại mỗi số tự nhiên dạng trên ứng với một tập con 5 phần tử của X.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đầu bài bằng số tập con 5 phần tử của tập X, bằng

Ví dụ 2 : Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần

A.150    B.360    C.720    D.120

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Gọi số cần tìm

Bước 1: Xếp chữ số 0 vào 1 trong 6 vị trí từ a2 đến a₇ , có 6 cách xếp.

Bước 2: Chọn 3 vị trí trong 6 vị trí còn lại để xếp ba chữ số 4, có

Bước 3: Xếp ba chữ số {1, 2, 3} vào ba vị trí còn lại, có 3! Cách.

Theo quy tắc nhân có số thỏa điều kiện.

Ví dụ 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( khác 0) ?

A.15100    B.64800    C.28800    D.14400

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

+ Bước 1. Chọn 3 chữ số lẻ từ năm chữ số lẻ {1,3,5,7,9} có:

+ Bước 2. Chọn 3 số chẵn ( khác 0) từ 4 chữ số chẵn {2,4,6,8} có

+ Bước 3. Lập số tự nhiên có 6 chữ số gồm 3 chữ số chẵn; 3 chữ số lẻ từ các số vừa chọn có:

6!= 720 cách.

Theo quy tắc nhân có: 10. 4. 720= 28800 số thỏa mãn.

Ví dụ 4 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ( hai chữ số chẵn này đều khác 0) và bắt buộc có số 1.

A.720    B.1440    C.4320    D.2880

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

+ Bước 1. Chọn 3 số lẻ. Do số cần lập bắt buộc có số 1 nên 2 số lẻ còn lại là khác 1. Số cách chọn 2 số lẻ này là:

+ Bước 2. Chọn hai số chữ số chẵn ( khác 0) có:

+ Bước 3. Từ 5 số vừa chọn ; lập số tự nhiên có 5 chữ số: có 5! Cách lập,

Theo quy tắc nhân số các số thỏa mãn đầu bài là: 6.6.5!= 4320 số

Ví dụ 5 : Từ các chữ số 1; 2; 3; 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 1có mặt 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 2 lần; các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.

A.2016    B.1008    C.2940    D.336

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 8 chữ số thỏa mãn đầu bài là:

+ Bước 1: Chọn 3 vị trí để xếp số 1 có:

+ Bước 2. Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí còn lại để xếp số 4 có:

+ Bước 3. Xếp 3 số 2,3,5 vào 3 vị trí còn lại có: 3!= 6 cách.

Theo quy tắc nhân có: 56.6.6= 2016 số thỏa mãn.

Ví dụ 6 : Có bao nhiêu số có 9 chữ số trong đó chữ số 0 có mặt 2 lần,chữ số 2 có mặt ba lần và chữ số 3 có mặt 2 lần các chữ số còn lại có mặt đúng một lần

A.1512000    B.1646400    C.720000    D.Tất cả sai

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Gọi số có 9 chữ số thỏa mãn điều kiện đầu bài là:

+ Bước 1. Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0. Vì a₁≠0 nên có cách xếp.

+ Bước 2. Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí còn lại để xếp chữ số 2 có cách

+ Bước 3. Chọn 4 số từ các số {1,3,4,5,6,7,8,9} có cách. Xếp 4 số này vào 4 vị trí còn lại có: 4!= 24 cách

Theo quy tắc nhân; số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là;

28. 35. 70.24= 1646400 số

Ví dụ 7 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ tập {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, biết rằng tổng các chữ số của nó là một số lẻ.

A.8060    B.6480    C.7200    D.7920

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Do tổng các chữ số của số cần lập là một số lẻ nên ta có các trường hợp sau:

- Trường hợp 1.Số cần lập có 1 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn.

   + Bước 1. Chọn 1 chữ số lẻ có

   + Bước 2. Chọn 4 chữ số chẵn có

   + Bước 3. Từ 5 số vừa chọn; lập số tự nhiên có 5 chữ số: có 5!= 120 cách

Theo quy tắc nhân có: 5.1.120= 600 số

- trường hợp 2. Số cần lập có 3 chữ số lẻ; 2 chữ số chẵn.

   + Bước 1 . Chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ có

   + Bước 2. Chon 2 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn có:

   + Bước 3. Từ số vừa chọn ; lập số tự nhiên có 5 chữ số có: 5!= 120 cách

Theo quy tắc nhân có : 10. 6.120= 7200 số.

- Trường hợp 3. Số cần lập có 5 chữ số lẻ.

   + Bước 1. Chọn 5 chữ số lẻ có 1 cách.

   + Bước 2. Từ 5 chữ số lẻ đó; lập ra các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau có 5!= 120 số.

Theo quy tắc cộng có: 600 + 7200 + 120 = 7920 số

Ví dụ 8 : Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó; chữ số hàng nghìn lớn hơn hàng trăm; chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị

A.210    B.250    C.260    D.240

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn là: abcd.

Nhận xét: Với 4 chữ số bất kì thì chỉ có 1cách sắp xếp duy nhất thỏa mãn: a> b>c> d. Do đó số các số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài chính bằng số cách chọn ra 4 chữ số từ 10 chữ số {0,1,2,3...9}.

⇒ Có số thỏa mãn đầu bài.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn (Biết số cần lập không có chữ số 0 ) ?

A.14400    B.12520    C.28800    D.64800

Lời giải:

Đáp án : C

+ Bước 1. Chọn 3 chữ số lẻ từ năm chữ số lẻ {1,3,5,7,9} có:

+ Bước 2. Chọn 3 số chẵn ( khác 0) từ 4 chữ số chẵn {2,4,6,8} có

+ Bước 3. Lập số tự nhiên có 6 chữ số gồm 3 chữ số chẵn; 3 chữ số lẻ từ các số vừa chọn có:

6!= 720 cách.

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn ( biết rằng số đó không chứa chữ số 0)

A.7200    B.6800    C.4500    D.5400

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcde

Do số tự nhiên cần lập có 5 chữ số; tổng các chữ số của nó là một số chẵn nên có các trường hợp:

- Trường hợp 1. Số cần lập có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

   + Bước 1. Chọn 3 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn {2,4,6,8} có

   + Bước 2. Chọn 2 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ {1,3,5,7,9} có

   + Bước 3. Từ 5 số vừa chọn lập số tự nhiên có 5 chữ số có 5!= 120 số

Theo quy tắc nhân có 4.10.120= 4800 số.

- Trường hợp 2. Số cần lập có 1 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ:

   + Bước 1. Chọn 1 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn {2,4,6,8} có

   + Bước 2. Chọn 4 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ {1,3,5,7,9} có

   + Bước 3. Từ 5 số vừa chọn lập số tự nhiên có 5 chữ số có 5!= 120 số

Theo quy tắc nhân có 4.5.120= 2400 số.

⇒ Có tất cả: 4800+ 2400= 7200 số thỏa mãn.

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước ?

A.84    B.252    C.126    D.210

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là

Nhận xét: Với 6 chữ số bất kì luôn có 1 cách xếp duy nhất theo thứ tự tăng dần.

Do đó; số các số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước chính là số cách chọn 6 chữ số từ 9 chữ số {1,2,3,4,4,5,6,7,8,9} – chú ý số đầu tiên khác 0.

⇒ Số các số thỏa mãn đầu bài là

Câu 4: Có 6 chữ số sao cho chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng trước ?

A.240    B.210    C.126     D.420

Lời giải:

Đáp án : B

Với 6 chữ số bất kì ta luôn có 1 cách sắp xếp duy nhất theo thứ tự giảm dần.

Do đó; số các số có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán chính bằng số cách chọn 6 chữ số từ 10 chữ số: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

⇒ Số các số thỏa mãn đầu bài là:

Câu 5: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 2 lần; chữ số 6 có mặt đúng 4 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.

A.999900    B.9979000    C.9979200    D.997200

Lời giải:

Đáp án : C

+ Bước 1. Chọn 2 vị trí từ 12 vị trí để xếp 2 chữ số 5 có

+ Bước 2. Chọn 4 vị trí từ 10 vị trí còn lại để xếp 4 chữ số 6 có

+ Bước 3. Xếp 6 số còn lại vào 6 vị trí còn lại có 6!= 720 cách.

Theo quy tắc nhân có: 66. 210. 720= 9979200 số

Câu 6: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.

A.5804    B.5880    C.5808    D.5800

Lời giải:

Đáp án :

Gọi số thỏa mãn là

- Trường hợp 1. Nếu a₁ = 5

   + Bước 1. Chọn 2 vị trí trong 7 vị trí còn lại để xếp 2 chữ số 5 có

   + Bước 2. Xếp 5 số 0,1,2,3,4 vào 5 vị trí còn lại có 5!= 120 cách

Theo quy tắc nhân có: 21.120= 2520 số thỏa mãn.

- Trường hợp 2. Nếu a₁≠5

   + Bước 1. Chọn a1 có 4 cách: a₁∈ {1,2,3,4}

   + Bước 2. Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí còn lại để xếp 3 chữ số 5 có:

   + Bước 3. Xếp 4 số còn lại vào 4 vị trí có 4!= 24 cách

Theo quy tắc nhân có: 4.35. 24= 3360 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả: 2520+ 3360= 5880 số thỏa mãn.

Câu 7: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần và các số này không bắt đầu bằng số 12.

A.2460    B.2520    C.1260    D.2100

Lời giải:

Đáp án : A

- Ta tính số các số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 2 lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

+ Bước 1. Chọn 2 vị trí trong 7 vị trí để xếp 2 chữ số 4: có

+ Bước 2. Xếp 5 chữ số còn lại vào 5 vị trí có 5!= 120 cách.

Theo quy tắc nhân có: 21.120= 2520 cách.

- Ta tính số các số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 2 lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần và số này bắt đầu bằng 12:

Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn điều kiện là:

+ Bước 1: Do số này bắt đầu bằng 12 nên có 1 cách chọn .

+ Bước 2. Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí còn lại để xếp 2 chữ số 4 có

+ Bước 3. Xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại có 3!= 6 cách

Theo quy tắc nhân có: 1. 10.6= 60 số.

Vậy có tất cả: 2520 - 60= 2460 số thỏa mãn.

Câu 8: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 2 lần, các chữ số còn lại nếu có mặt thì có mặt không quá 1 lần.

A.211460    B.117600    C.111260    D.11210

Lời giải:

Đáp án : B

Do số cần lập có 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần; chữ số 4 có mặt 2 lần nên cần chọn 3 số khác nữa để lập số có 8 chữ số.

+ Bước 1. Chọn 3 số từ tập {2,3,5,6,7,8,9} có

+ Bước 2. Chọn 3 vị trí trong 8 vị trí để xếp 3 chữ số 1 có

+ Bước 3. Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí còn lại để xếp 2 chữ số 4 có

+ Bước 4. Xếp 3 số được chọn trong bước 1 vào 3 vị trí còn lại có: 3!= 6 cách.

Theo quy tắc nhân có: 35. 56. 10.6= 117600

Câu 9: Cho tập hợp A= {2,5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có chữ số 2nào đứng cạnh nhau?

A.120 số    B.124 số    C.86 số    D.144 số

Lời giải:

Đáp án : D

- Trường hợp 1: Số có 10 chữ số 5 chỉ có 1 số duy nhất.

- Trường hợp 2: Số có 9 chữ số 5 và 1 chữ số 2.

    Xếp 9 số 5 thành hàng có 1 cách.

    Khi đó tạo nên 10 "vách ngăn" đế xếp số 2.

    Xếp số 2 có cách.

   Vậy có = 10 số.

- Trường hợp 3: Số có chữ số 5 và 2 chữ số 2.

   Tương tự sử dụng phương pháp tạo vách ngăn như TH2 thì tìm được

- Trường hợp 4: Số có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 : có

- Trường hợp 5: Số có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 : có

- Trường hợp 6: số có 5 chữ số 5 và 5 chữ số 2 : có

( chú ý: Số cần lập có 10 chữ số và không có 2 chữ số 2 nào đứng cạnh nhau nên số cần lập không thể có 6 chữ số 2) .

Vậy theo quy tắc cộng thì có