Bài tập về nhị thức Newton nâng cao cực hay có lời giải - Toán lớp 11
Bài tập về nhị thức Newton nâng cao cực hay có lời giải
Với Bài tập về nhị thức Newton nâng cao cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập nhị thức Newton từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gọi Tk là số hạng thứ k trong khai triển (x3+2y2)13 mà tổng số mũ của x và y trong số hạng đó bằng 32. Hệ số của Tk bằng?
A.198620 B.186284 C.219648 D.2012864
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Ví dụ 2: Cho khai triển: (x-1)2n+x.(x+1)(2n-1)= a0+ a1 x+ a2.x2+⋯+ a2n.x2n với n nguyên dương và n≥3. Biết rằng a2k=768. Tính a6
A.188 B.284 C.336 D.424
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Đặt P(x)= (x-1)2n+x.(x+1)(2n-1)= a0+ a1 x+ a2.x2+⋯+ a2n.x2n
⇒ P(1)= 22n- 1 =a0+ a1 + ...+ a2n
Và P(-1)= 22n = a0- a1 + a2- ....+ a2n
⇒ P(1) + P(-1) = 22n-1 +22n = 2. a2k=768= 1536
Suy ra: 22n-1 +22n = 1536 ⇔ n= 5
⇒hệ số a6 chứa x6 trong khai triển đã cho là:
Ví dụ 3: Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức: P(x) = (x+ 1/x)2018. Tính S + 1/2 C10092018
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Ví dụ 4: Tìm n,biết rằng hệ số của x4 trong khai triển (x3+2x2+3x).(x+1)n bằng 804
A.n=10 B.n=11 C.n=12 D.n=13
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Ví dụ 5: Cho khai triển an (x-1)n + an-1(x-1)n-1 + ...+ a1(x-1)+ a0 = xn vớ mọi số thực x; n∈N; n> 4. Tìm n biết a2+ a3+ a4 = 83n
A.n=10 B.n=11 C.n=12 D.n=13
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Ví dụ 6: Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức (x - 1/x2)20+ (x3- 1/x)10 có tất cả bao nhiêu số hạng?
A.29 B.28 C.27 D.26
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Ví dụ 7: Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức (2x+ 2(1/2-x))n có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135; còn tổng của ba số hạng cuối là 22.
A.1 B.2 C.3 D.4
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Ví dụ 8: Trong khai triển của biểu thức (x3-x-2)2017. Tính tổng S của các hệ số của x2k+ 1 với k nguyên dương.
A.2017.22017 B.2017.22016 C.2016.22016 D.2018.22017
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Gọi a3n- 3 là hệ số của số hạng chứa x3n- 3 trong khai triển (x2+1)n.(x+2)n. Tìm n sao cho a3n- 3 = 26n?
A.n=4 B.n=5 C.n=6 D.n=7
Lời giải:
Đáp án : B
Câu 2: Gọi a5n-10 là hệ số của số hạng chứa x5n-10 tronh khai triển (x3+1)n.(x2+2)n. Biết a5n- 10 = 1000n( n-1). Tìm n
A.n=13 B.n=15 C.n=16 D.n=17
Lời giải:
Đáp án : D
Ta có
Câu 3: Cho kahi triển x(x+1)n + 2( x+1)n= a0+ a1x+ a2.x2+ ...+ an+1xn+1 với n là số tự nhiên và n≥2. Tìm n; biết rằng a2 – 7n; n.an ; an-2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
A.n= 6 B.n= 8 C.n= 10 D.n= 12
Lời giải:
Đáp án : C
Ta có
Vậy n=10
Câu 4: Xác định n biết rằng hệ số của xn trong khai triển (1+x+2x2+⋯+n.xn )2 bằng 6n
A.n= 5 B.n= 6 C.n= 4 D.n= 7
Lời giải:
Đáp án : A
Ta có
Vậy n=10
Câu 5: Khai triển (1+x+ x2+ ..+ x10)11 được viết thành a0+ a1x+ a2.x2+ ...+a110x110.
A.S= 9 B.S= 10 C.S= 13 D.S= 11
Lời giải:
Đáp án : D
Câu 6: Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu- tơn của đa thức P(x)= (2+x+ 2x2+ x3)n thì hệ số của x5 là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P(x) bằng :
A.7776 B.6784 C.6842 D.8640
Lời giải:
Đáp án : A
Hệ số của x5 ứng với k+ 2l thỏa mãn : k+ 2l= 5
⇒ (k; l)= { (5; 0); (3,1); (1;2)}
Trường hợp 1. Với n≥5 khi đó (k; l)= { (5; 0); (3,1); (1;2)}
⇒ Hệ số của x5 là :
Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n>5 do đó chỉ có thể chọn n=5.
Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2. Với 3≤n<5 khi đó (k; l) = {(3;1); (1;2)}
⇒ Hệ số của x5 là :
Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n>3 do đó chỉ có thể chọn n= 3
Thử lại vào phương trình ta thấy n= 3 không thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 3. Với n= 2 khi đó (k;l)= (1;2)
⇒ Hệ số của x5 là :
Do đó chỉ có n= 5 thỏa mãn nên tổng các hệ số trong khai triển:
Cho x= 1 ta được: 65 = 7776
Câu 7: Cho khai triển P(x)= (1+x).(2+ x). ..(1+2017x) = a0+ a1x+ a2x2+ ...+ a2017x2017. Kí hiệu P’(x) và P”(x) lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P(x). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.a2 = P’(0) B.a2=(P'(0))/2 C.a2=P''(0) D.a2=(P^''(0))/2
Lời giải:
Đáp án : D
Ta có: P'(x)= a1+2a2x+3a3x2+⋯+2017a2017x2016
Tiếp tục đạo hàm lần nữa, ta có:
P''(x)=2a2+6a3x+⋯+2017.2016.a2017x2015
Cho x = 0 ta được: P''(0)=2a2 nên a2=(P^''(0))/2
Câu 8: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển: (1-2x+2015x2016-2016x2017+2017.x2018)60
Lời giải:
Đáp án : A
Câu 9: Cho khai triển
Lời giải:
Đáp án : B