Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11


Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay

Với Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a; b ta chọn hai mặt phẳng cố định

(α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a và b

Khi đó I = a ∩ b ⇒ Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β)

Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:

- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) , khi đó d đi qua điểm cố định J

B. Ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng (P) quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại các điểm tương ứng E; F

a) Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE

b) Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF

Lời giải

a) Phần thuận:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Giới hạn:

Khi E chạy đến C thì F chạy đến D và I chạy đến H

Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và I chạy đến S

Phần đảo:

Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn SH , trong (SAH) gọi F = SD ∩ AI, trong (SBH) gọi E là giao điểm của SH và BI. Khi đó (ABEF) là mặt phẳng quay quanh AB cắt các cạnh SC; SD tại E; F và I là giao điểm của AF và BE.

Vậy tập hợp điểm I là đoạn SH

b) Ta có

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Nhưng SO = (SAC) ∩ (SBD) nên J ∈ SO

Khi E chạy đến chạy đến C thì F chạy đến D và J chạy đến O

Khi E chạy đến S thì F chạy đến S và J chạy đến S

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạn SO

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M; N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM/AB ≠ AN/AC. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F .

a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF

c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE

Lời giải

a) Trong mp (ABC) gọi K = MN ∩ BC thì K cố định và

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Lại có EF = (P) ∩ (BCD) ⇒ K ∈ EF

Vậy EF luôn đi qua điểm K cố định

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Phần thuận:

Trong (P) gọi I = ME ∩ NF ⇒ Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ I ∈ (MCD) ∩ (NBD)

Gọi O = CM ∩ BN ⇒ OD = (MCD) ∩ (NBD) ⇒ I ∈ OD

Giới hạn:

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O.

Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I chạy đến D.

Phần đảo:

Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OD, trong (MCD) gọi E = MI ∩ CD, trong (NBD) gọi F = NI ∩ BD suy ra (MNEF) là mặt phẳng quay quanh MN cắt các cạnh DB; DC tại các điểm E; F và I = ME ∩ NF

Vậy tập hợp điểm I là đoạn O D.

c)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và J chạy đến A

Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và J chạy đến D

Từ đó ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD

Hay lắm đó

C. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I,J là trung điểm SA; SB . Lấy điểm M tùy ý trên SD. Tìm giao điểm của:

a) IM và (SBC)     b) JM và (SAC)      c) SC và (IJM)

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Chọn mặt phẳng phụ (SAD) chứa IM. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Có : S ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi H là giao điểm của AD và BC

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ H ∈ (SAD) ∩ (SBC)   (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra:

SH = (SAD) ∩ (SBC)

   + Trong mp(SAD) gọi E là giao điểm của IM và SH

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa JM. Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)

Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)   (3)

   + Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra : SO = (SBD) ∩ (SAC)

Trong mp(SBD) gọi F là giao điểm của JM và SO

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

c) Ta có

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm trên SA; AB; BC

a) Tìm giao điểm của IK với (SBD)

b) Tìm các giao điểm của mp (IJK) với SD và SC

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Chọn mặt phẳng phụ (SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)

   + S ∈ (SAK) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi E là giao điểm của AK

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Từ (1) và (2) suy ra SE = (SAK) ∩ (SBD)

Trong mp(SAK) gọi F là giao điểm của IK và SE

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD. Tìm giao tuyến của (SBD) và (IJK)

Ta có:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong mp(ABCD) gọi M là giao điểm của JK và BD.

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra MF = (IJK) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi N là giao điểm của SD và MF.

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

c) Chọn mp(SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (IJK)

   + Ta có: Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong mp(ABCD) gọi P là giao điểm của JK và AC.

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Từ (5) và (6) suy ra : IP = (SAC) ∩ (IJK)

   + Trong mp(SAC) gọi Q là giao điểm của SC và IP

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:

a) MN và (ABCD)

b) MN và (SAC)

c) SC và (AMN)

d) SA và (CMN)

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Gọi E trung điểm của CD

   + Trong mp(SBE) gọi F là giao điểm của MN và BE

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Chọn mp(SBE) chứa MN. Tìm giao tuyến (SBE) và (SAC)

   + Ta có: S ∈ (SBE) ∩ (SAC)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi G là giao điểm của AC và BE

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Từ (1) và (2) suy ra: SG = (SBE) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SBE) gọi H là giao điểm của MN và SG

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

c) Chọn mp(SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến (SAC) và (AMN)

   + Ta có: A ∈ (AMN) ∩ (SAC)   (3)

   + Ta có

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra : AH = (AMN) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SAC) gọi K là giao điểm của SC và AH

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

d) Chọn mp(SAC) chứa SA. Tìm giao tuyến (SAC) và (CMN)

   + Ta có: C = (SAC) ∩ (CMN)   (5)

   + Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Từ (5) và (6) suy ra : CH = (SAC) ∩ (CMN)

Trong mp(SAC) gọi I là giao điểm của SA và CH

⇒ I = SA ∩ (CMN)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm của MN với (SAC)

b) Tìm giao điểm của SC với (AMN)

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (AMN)

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Trong mp(SBC) gọi E = SM ∩ BC

Trong mp(SCD) gọi F = SN ∩ CD

   + Chọn mp(SEF) chứa MN

Có S ∈ (SEF) ∩ (SAC)   (1)

Trong mp(ABCD) gọi

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ O ∈ (SEF) ∩ (SAC)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra (SEF) ∩ (SAC) = SO

Trong mp(SEF) gọi

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Có A ∈ (AMN) ∩ (SAC)   (3)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra (AMN) ∩ (SAC) = AH

Trong mp(SAC) gọi Q = SC ∩ AH

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

c) Có MQ = (AMN) ∩ (SBC). Gọi P = SB ∩ MQ ⇒ (AMN) ∩ (SAB) = AP

Có NQ = (AMN) ∩ (SCD). Gọi R = SD ∩ NQ ⇒ (AMN) ∩ (SAD) = AR

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APQR

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của SB; SD và OC.

a) Tìm giao tuyến của ( MNP) và (ABCD)

b) Tìm giao điểm của SA và (MNP)

c) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP). Tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC và CD

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Ta có SO = (SAC) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi H là giao điểm của MN và SO

Vì MN là đường trung bình của tam giác SBD

⇒ H là trung điểm của SO

   + Có P ∈ (MNP) ∩ (SAC)   (1)

   + Có Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ H ∈ (MNP) ∩ (SAC)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) ∩ (SAC) = PH

   + Trong mp(SAC) gọi

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Do H trung điểm của SO và P trung điểm của OC

Suy ra PH là đường trung bình của tam giác OCS nên PH // SC

   + Trong tam giác SAC có Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong mp(SAB) gọi I = EM ∩ AB ⇒ I ∈ (MNP) ∩ (ABCD)   (3)

Lại có P ∈ (MNP) ∩ (ABCD)

Do đó (MNP) ∩ (ABCD) = IP

   + Trong mp(ABCD) gọi F và G lần lượt là giao điểm của IP với BC và CD.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác FMENG.

Trong mp(SAB) dựng BK // SA, K ∈ SI ⇒ ΔMES = ΔMKB (g.c.g)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Kết luận tỉ số mà mp(MNP) chia các cạnh SA, BC và CD lần lượt là:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC và I, J lần lượt là trung điểm của CD và SD

a) Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng (SAB)

b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJK) với hình chóp

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong mp(ABCD) gọi O = AC ∩ BD

⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SO

   + Vì K là trọng tâm của tam giác SAC nên:

SK = (2/3)SO

+ Trong tam giác SBD có SO là đường trung tuyến và SK = (2/3)SO

Suy ra K là trọng tâm của tam giác SBD.

Do đó B ∈ KJ

a)

   + Ta có S ∈ (SAB) ∩ (SIO)  (1)

Trong mp(ABCD) gọi E = AB ∩ IO

   + Do Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) ∩ (SIO) = SE

   + Trong mp(SIO) gọi H = IK ∩ SE, có

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Ta có B ∈ KJ ⇒ B ∈ (IJK) ∩ (ABCD)

⇒ Giao tuyến (IJK) ∩ (ABCD) = BI

   + Trong mp(SAB) gọi F = BH ∩ SA ⇒ (SAB) ∩ (IJK) = BF

Ngoài ra (SAD) ∩ (IJK) = FJ và (SCD) ∩ (IJK) = JI

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BFJI

Hay lắm đó

Câu 7: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm trong tam giác SAB và điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD = 2MS

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (PCD)

b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (ABM)

c) Gọi N là trung điểm của AD, tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp S.ABCD

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Ta có P ∈ (SAB) ∩ (PCD)    (1)

Trong mp(ABCD) gọi H = AB ∩ CD, có

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) ∩ (PCD) = HP

b)

   + Bước 1: Chọn mp(SCD) chứa SC.

   + Bước 2: Tìm giao tuyến của (MAB) và (SCD):

Có M, H là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD)

⇒ HM = (MAB) ∩ (SCD)

Giao tuyến HM cắt SC tại điểm I

Vậy I là giao điểm của SC với mp(ABM)

c) Trong mp(SAD) gọi G = SA ∩ MN, có

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Lại có P ∈ (SAB) ∩ (MNP)   (4)

Từ (3) và (4) ⇒ (SAB) ∩ (MNP) = GP.

Gọi K, L lần lượt là giao điểm của GP với SB và AB.

Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNLK.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD, P là điểm thuộc cạnh SB sao cho: SP = 3PB

a) Tìm giao điểm Q của SC và (MNP)

b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD)

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi E là giao điểm của PN và SO

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (1) và (2) suy ra : ME = (MNP) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SAC) gọi Q là giao điểm của ME và SC

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong mp(SBD) gọi K là giao diểm của PN và BD

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong mp(SAB) gọi H là giao điểm của PM và AB.

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra: HK = (MNP) ∩ (ABCD)

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SD.

a) Tìm giao điểm I của BM với mp(SAC). Chứng minh: BI = 2IM

b) Tìm giao điểm E của SA với mp(BCM). Chứng minh E là trung điểm của SA

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Có: S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)  (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra : SO = (SAC) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SBD) gọi I là giao điểm của BM và SO

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Trong tam giác SBD có I là giao điểm của hai đường trung tuyến SO và BM suy ra I là trọng tâm của tam giac SBD.

⇒ BI = 2IM

b) C ∈ (BCM) ∩ (SAC)   (3)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra: CI = (BCM) ∩ (SAC)

   + Trong mp(SAC) gọi E là giao điểm của SA và CI

⇒ E = SA ∩ (BCI)

   + Vì I trọng tâm của tam giác SBD nên SI = (2/3)SO

   + Trong tam giác SAC có SO là đường trung tuyến và SI = (2/3)SO nên I cũng là trọng tâm của tam giác SAC.

Do đó CI là đường trung tuyến của tam giác SAC nên E trung điểm của SA

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và AB = 2CD. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh SA; AB; BC

a) Tìm giao điểm của IK và mp (SBD)

b) Tìm giao điểm F của SD và mp (IJK)

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Chọn mp(SAK) chứa IK

   + S ∈ (SBD) ∩ (SAK)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm của AK và BD

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ O ∈ (SAK) ∩ (SBD)  (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra:

SO = (SAK) ∩ (SBD)

   + Trong mp(SAK) gọi E là giao điểm của IK và SO

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

b) Trong mp(ABCD) gọi P, Q lần lượt là giao điểm của JK với AD và CD.

Có:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

⇒ ΔKBJ = ΔKCQ (g.c.g)

⇒ JB = CQ

   + Lại có : JB = DC (Vì JB = DC = (1/2)AB ). Do đó C là trung điểm của DQ, và BJCQ là hình bình hành.

   + Trong tam giác DPQ có CJ là đường trung bình. Do đó A là trung điểm của DP.

Có I ∈ (SAD) ∩ (IJK)   (3)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (3) và (4) suy ra : IP = (SAD) ∩ (IJK)

   + Trong mp(SAD) gọi giao điềm của SD và IP là F

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Câu 11: Cho tứ diện S.ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD

a) Tìm giao điểm E của CD với mp(IJK). Chứng minh: DE = DC

b) Tìm giao điểm F của AD với mp(IJK). Chứng minh: FA = 2 FD

c) Chứng minh: FK // IJ

d) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với mp(IJK)

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Trong mp(BCD) gọi E là giao điểm của CD và JK

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Trong tam giác CEJ có: DH = (1/2).CJ nên DH là đường trung bình của tam giác này. Suy ra D trung điểm của CE

Vậy DE = DC

b)

   + Ta có:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + E là giao điểm của CD và JK:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Từ (1) và (2) suy ra : EI = (ACD) ∩ (IJK)

   + Trong mp(ACD) gọi F là giao điềm của AD và (IJK)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

   + Có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy ra F là trọng tâm của tam giác này.

⇒ FA = 2FD

c) Tương tự câu b) có K là trọng tâm của tam giác BCE

Theo tính chất trọng tâm có: EF/EI = EK/EJ = 2/3 ⇒ FK //IJ

d) Chọn mp(ABN) chứa MN

   + Trong mp(BCD) gọi P là giao điểm của BN và JK

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Câu 12: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC; BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua AC cắt SE; SB lần lượt tại M; N. Một mặt phẳng (β) đi qua BC cắt SD; SA tương ứng tại P và Q.

a) Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Chứng minh: S; I; J; G thẳng hàng

b) Giả sử K = AN ∩ DM, L = BQ ∩ EP. Chứng minh S; K; L thẳng hàng

Lời giải:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

a) Ta có:

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: S; I; J; G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng thẳng hàng.

b)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Ta có:

S ∈ (SAB) ∩ (SDE)

Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cực hay - Toán lớp 11

Vậy S; K; L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) nên chúng thẳng hàng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: