Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cực hay có lời giải - Toán lớp 11

---

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cực hay có lời giải

Với Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Khi đó tổng n số hạng đầu tiên được tính theo công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Tính tổng S= u₂ + u₄ + u₆ + ..+ u₁₄

Hướng dẫn giải:

* Ta có: với mọi n.

=> Dãy số (u_n ) là cấp số nhân với u₁ = 32 và công bội q = 2.

* các số u₂; u₄; u₆; ...; u₁₄ lập thành cấp số nhân số hạng đầu u₂ = u₁ . q = 64 và công bội q' = 2q = 4. Tổng của 7 số hạng u₂; u₄;...u₁₄ là :

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi cấp số nhân đó là (u_n) với . Theo đề bài ta có :

Từ (2) ta có:

⇔ q= 3. Thay vào (1) ta được :

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn. . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tính u₁?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế với u₁ ≠ 0 ta được :

* Với q = 6 => u₁ = 1.

* Với

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 1 hoặc 36.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn; . Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

Hướng dẫn giải:

* Trước tiên ta đi tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế ( với u_1.q≠0) ta được:

hay q = 2 thay vào (1) ta được u₁ = 3

*Ta có tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

Chọn D.

Ví dụ 6: Tính tổng S_n = 3 + 3² + 3³ + ....+ 3ⁿ

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 3; 3², 33³3; ..;3ⁿ là một cấp số nhân có n số hạng. Số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng của n số hạng đầu tiên là:

Chọn A.

Ví dụ 7: Tính

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Có dãy số 3²; 3⁴;..; 3²ⁿ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = 32 và công bội q = 9. Do đó

Có dãy số là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội . Do đó

Vậy

Chọn C.

Ví dụ 8: Tính

Hướng dẫn giải:

Ta có

Vậy

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và u₂ = −6. Biết rằng S_n = −29524 , tính u_n.

Hướng dẫn giải:

Ta có u₂ = u₁ . q nên −6 = 2q ⇔ q = −3

Ta có

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Nhận xét: dãy số 3,3², 3³, 3⁴,..., 3²⁰ là cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 3 và công bội q= 3.

=> Tổng 20 số hạng của dãy số là:

Câu 2: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số (-1),(-1)²,(-1)³,…,(-1)⁴¹ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u₁ = −1 và công bội q = −1.

Do đó tổng S bằng.

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và công bội là số nguyên tố bé nhất. Tìm k, biết S_k = 189.

Lời giải:

Đáp án: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có

Theo giả thiết, ta có:

Câu 4: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có dãy số theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng. Có số hạng đầu là:

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

Câu 5: Tính tổng sau

Lời giải:

Đáp án: B

* Nhận xét:

Nên:

Vì 10+ 10² + 10³ + ..+ 10ⁿ là tổng của cấp số nhân; số hạng đầu u1 =10, công bội q = 10 nên

Câu 6: Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết công bội q= 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486.

Lời giải:

Đáp án: A

Theo đề bài ta có:

Thay q= 3 vào (*) ta được :

Câu 7: Tính tổng

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Câu 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi và .Tổng bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt

suy ra trong đó là cấp số nhân với công sai

Do đó

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: u₁ = 4; q = 2 và S_n = 2044. Tính S_2n?

Lời giải:

Đáp án: D

*Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:

* Khi đó: